Hình vuông \(OABC\) có cạnh bằng \(4\) được chia thành hai phần bởi đường cong \(\left( C \right)\) có phương trình \(y = \frac{1}{4}\,{x^2}\). Gọi \({S_1}\,,\,\,{S_2}\) lần lượt là diện tích của phần không bị tô màu và bị tô màu như hình vẽ bên dưới. Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) bằng bao nhiêu?

Đáp án đúng là: D

Phương trình hoành độ giao điểm là

\(a{x^3} + b{x^2} + cx - \frac{1}{2} = d{x^2} + ex + 1\)\( \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {b - d} \right){x^2} + \left( {c - e} \right)x - \frac{3}{2} = 0\) (*)

Do đồ thị hai hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt nên phương trình (*) có nghiệm \( - 3; - 1;2\).

Ta có \(a{x^3} + \left( {b - d} \right){x^2} + \left( {c - e} \right)x - \frac{3}{2} = k\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\).

Khi đó \( - 6k = - \frac{3}{2}\)\( \Leftrightarrow k = \frac{1}{4}\).

Do đó diện tích trồng hoa là \(S = \int\limits_{ - 3}^2 {\left| {\frac{1}{4}\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \right|dx \approx 5,27} \).

Số tiền trồng hoa khoảng \(5,27.800000 = 4216000\) đồng.