Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$, biết

a) $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{x},\left( {x \ne 0} \right)$;

b) $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{\sqrt x }},\left( {x > 0} \right)$;

c) $f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}},\left( {x > 0} \right)$.

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 12 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{x}dx} = \int {\left( {x + 3 + \frac{2}{x}} \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + 3x + 2\ln \left| x \right| + C$.

b) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{\sqrt x }}} dx = \int {\left( {x\sqrt x + 3\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)dx} $

$ = \int {\left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 3{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)dx} = \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + 2{x^{\frac{3}{2}}} + 2\sqrt x + C$.

c) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} $$ = 2\sqrt x + \ln \left| x \right| + \frac{1}{x} + C$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Năm phải trả.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi phương trình parabol $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c$.

Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $\left( P \right)$ có đỉnh $I \in Oy$.

Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500.000 đồng. Tính số tiền bác Năm phải trả. (ảnh 1)

Vì $\left( P \right)$ đi qua 3 điểm $A,B,I$ nên ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} \frac{9}{4} = c \\ \frac{9}{4} a - \frac{3}{2} b + c = 0 \\ \frac{9}{4} a + \frac{3}{2} b + c = 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{9}{4} = c \\ a = - 1 \\ b = 0 \end{cases}$

Vậy $\left( P \right):y = - {x^2} + \frac{9}{4}$.

Diện tích cửa parabol là \[S = \int\limits_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right)dx = 2\int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right)dx} = \left. {2\left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{9}{4}x} \right)} \right|_0^{\frac{3}{2}}} = \frac{9}{2}\] m².

Vậy số tiền phải trả là $\frac{9}{2}.1500000 = 6750000$ đồng.

Câu 2

Cho $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\2x - 1\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right.$. Tính $I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} $.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} $$ = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {2x - 1} \right)dx} + \int\limits_1^2 {1dx} $$ = \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_{ - 1}^1 + \left. x \right|_1^2 = - 2 + 1 = - 1$.

Câu 3