Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 1}}\) và \(F\left( 0 \right) = 2\). Tính \(F\left( e \right)\).

Gọi phương trình parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\).

Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(\left( P \right)\) có đỉnh \(I \in Oy\).

Vì \(\left( P \right)\) đi qua 3 điểm \(A,B,I\) nên ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac{9}{4}=c\\ \frac{9}{4}a-\frac{3}{2}b+c=0\\ \frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b+c=0\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{9}{4}=c\\ a=-1\\ b=0\end{array}\right.$

Vậy \(\left( P \right):y = - {x^2} + \frac{9}{4}\).

Diện tích cửa parabol là \[S = \int\limits_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right)dx = 2\int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right)dx} = \left. {2\left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{9}{4}x} \right)} \right|_0^{\frac{3}{2}}} = \frac{9}{2}\] m².

Vậy số tiền phải trả là \(\frac{9}{2}.1500000 = 6750000\) đồng.