Kí hiệu \(h\left( x \right)\) là chiều cao của một cây (tính theo m) sau khi trồng \(x\) năm. Biết rằng sau một năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo cây phát triển với tốc độ \(h'\left( x \right) = \frac{1}{x}\) (m/năm).

a) Xác định chiều cao của cây sau \(x\) năm \(\left( {1 \le x \le 11} \right)\).

b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m.

Gọi phương trình parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\).

Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(\left( P \right)\) có đỉnh \(I \in Oy\).

Vì \(\left( P \right)\) đi qua 3 điểm \(A,B,I\) nên ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac{9}{4}=c\\ \frac{9}{4}a-\frac{3}{2}b+c=0\\ \frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b+c=0\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{9}{4}=c\\ a=-1\\ b=0\end{array}\right.$

Vậy \(\left( P \right):y = - {x^2} + \frac{9}{4}\).

Diện tích cửa parabol là \[S = \int\limits_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right)dx = 2\int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right)dx} = \left. {2\left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{9}{4}x} \right)} \right|_0^{\frac{3}{2}}} = \frac{9}{2}\] m².

Vậy số tiền phải trả là \(\frac{9}{2}.1500000 = 6750000\) đồng.

a) Ta có \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + x - 2024} \right)dx} \)\( = \frac{{{x^4}}}{{12}} - \frac{2}{3}{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2024x + C\).

b) \(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = {x^3} + 6{x^2} + 11x + 6\).

Suy ra \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {{x^3} + 6{x^2} + 11x + 6} \right)dx} = \frac{{{x^4}}}{4} + 2{x^3} + \frac{{11}}{2}{x^2} + 6x + C\).

c) Ta có \(f\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2} = {x^2} - 2x + 1\).

Suy ra \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + x + C\).