Cho \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\2x - 1\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right.\). Tính \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} \).

Gọi phương trình parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\).

Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(\left( P \right)\) có đỉnh \(I \in Oy\).

Vì \(\left( P \right)\) đi qua 3 điểm \(A,B,I\) nên ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac{9}{4}=c\\ \frac{9}{4}a-\frac{3}{2}b+c=0\\ \frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b+c=0\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{9}{4}=c\\ a=-1\\ b=0\end{array}\right.$

Vậy \(\left( P \right):y = - {x^2} + \frac{9}{4}\).

Diện tích cửa parabol là \[S = \int\limits_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right)dx = 2\int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right)dx} = \left. {2\left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{9}{4}x} \right)} \right|_0^{\frac{3}{2}}} = \frac{9}{2}\] m².

Vậy số tiền phải trả là \(\frac{9}{2}.1500000 = 6750000\) đồng.

Vận tốc của ô tô là \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\left( { - \frac{8}{5}t} \right)dt} = - \frac{4}{5}{t^2} + C\).

Ta có \(72\;{\rm{km/h}} = 20\;{\rm{m/s}}\).

Vì \(v\left( 0 \right) = 20\) nên \(C = 20\)\( \Rightarrow v\left( t \right) = - \frac{4}{5}{t^2} + 20\).

Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 nên \( - \frac{4}{5}{t^2} + 20 = 0 \Rightarrow t = 5\).

Quãng đường cần tìm là \(s = \int\limits_0^5 {\left( { - \frac{4}{5}{t^2} + 20} \right)dt} = \left. {\left( { - \frac{4}{{15}}{t^3} + 20t} \right)} \right|_0^5 = \frac{{200}}{3}\) (m).