Chỉ số chất lượng không khí (AQI) là thước đo đơn giản hóa mức độ ô nhiễm không khí hiện tại hoặc dự báo mức độ ô nhiễm không khí trong tương lai.

Chất lượng không khí là Tốt nếu AQI từ 0 đến dưới 50; là Trung bình nếu AQI từ 50 đến dưới 100; là Kém nếu AQI từ 100 đến dưới 150; là Xấu nếu AQI từ 150 đến dưới 200. Chất lượng không khí tại Hà Nội từ ngày 4/2/2023 đến 5/3/2023 được cho như biểu đồ sau:

(a) Lập bảng tần số ghép nhóm và bảng tần số tương đối ghép nhóm theo chỉ số AQI cho dãy dữ liệu trên (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

(b) Cho biết nhóm nào có tần số cao nhất và hãy đánh giá chất lượng không khí tại Hà Nội từ ngày 4/2/2023 đến 5/3/2023.

a) Vì \(BE\) và \(CF\) là các đường cao của \(\Delta ABC.\) Suy ra \(BE \bot AC\)và \(CF \bot AB\).

Suy ra \(\widehat {AEH} = \widehat {AFH} = 90^\circ \).

Gọi \[N\] là trung điểm của \(AH\), ta có tam giác \[AHE\] vuông tại \[E\], có \[EN\] là trung tuyến nên \[NH = NE = NA\](1) (Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Tam giác \[AHF\] vuông tại \[F,\] có \[FN\]là trung tuyến nên \[NH = NF = NA\](2) (Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Từ (1), (2) ta có \[NH = NF = NA = NE\] nên \[E,F,H,A\]cùng thuộc đường tròn một đường tròn hay tứ giác \(AFHE\) nội tiếp được đường tròn.

b) Chứng minh được (g.g)

Suy ra: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AF}}\)

Do đó \(AF.AB = AE.AC\)

c) Chứng minh được tứ giác \[AFIC\] nội tiếp được đường tròn nên \(\widehat {ACF} = \widehat {AIF}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \[AF\])

\[M\] là trung điểm của \(BC.\) nên \[OM\] vuông góc với \[BC\]

Chứng minh được tứ giác \[OMIC\] nội tiếp được đường tròn nên \(\widehat {OIM} = \widehat {OCM}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \[OM\])

Ta chứng minh được: \(\widehat {ACF} = \widehat {OCM}\)

Từ đó suy ra: \(\widehat {OIM} = \widehat {AIF}\).

Suy ra: ba điểm \[M,I,F\]thẳng hàng.

Gọi \[x,{\rm{ }}y\] lần lượt là chiều dài và chiều rộng của vườn rau hình chữ nhật \[ABCD\].

R là bánh kính đường tròn \[\left( O \right)\] ngoại tiếp hình chữ nhật \[ABCD\].

Có \[xy = 640{\rm{ }}{m^2}\]

\[{R^2} = {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{y}{2}} \right)^2} = \frac{{{x^2}}}{{\rm{4}}} + \frac{{{y^2}}}{4}\]

Diện tích phần mở rộng: \[S = {S_{(O)}} - {S_{ABCD}} = \pi \left( {\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{4}} \right) - xy\]

Lại có: \[\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{4} \ge 2\sqrt {\frac{{{x^2}{y^2}}}{{4.4}}} = \frac{{2xy}}{4}\]

\[S \ge \pi \frac{{xy}}{{\rm{2}}} - xy = \frac{{640}}{{\rm{2}}}\pi - 640 \approx 365,31\]

Dấu “=” xảy ra khi \[x = y = \sqrt {640} = 8\sqrt {10} \].

Vậy diện tích nhỏ nhất của 4 phần đất trồng thêm hoa khoảng 365,31 m².