Một hộp có \[25\] thẻ cùng loại được ghi một trong các số \[1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5,{\rm{ }}6,{\rm{ }} \ldots .,25;\] hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Xét phép thử “Rút ngẫu nhiên một trong các thẻ trong hộp”. Tính xác suất của biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 5”.

a) Vì \(BE\) và \(CF\) là các đường cao của \(\Delta ABC.\) Suy ra \(BE \bot AC\)và \(CF \bot AB\).

Suy ra \(\widehat {AEH} = \widehat {AFH} = 90^\circ \).

Gọi \[N\] là trung điểm của \(AH\), ta có tam giác \[AHE\] vuông tại \[E\], có \[EN\] là trung tuyến nên \[NH = NE = NA\](1) (Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Tam giác \[AHF\] vuông tại \[F,\] có \[FN\]là trung tuyến nên \[NH = NF = NA\](2) (Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Từ (1), (2) ta có \[NH = NF = NA = NE\] nên \[E,F,H,A\]cùng thuộc đường tròn một đường tròn hay tứ giác \(AFHE\) nội tiếp được đường tròn.

b) Chứng minh được (g.g)

Suy ra: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AF}}\)

Do đó \(AF.AB = AE.AC\)

c) Chứng minh được tứ giác \[AFIC\] nội tiếp được đường tròn nên \(\widehat {ACF} = \widehat {AIF}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \[AF\])

\[M\] là trung điểm của \(BC.\) nên \[OM\] vuông góc với \[BC\]

Chứng minh được tứ giác \[OMIC\] nội tiếp được đường tròn nên \(\widehat {OIM} = \widehat {OCM}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \[OM\])

Ta chứng minh được: \(\widehat {ACF} = \widehat {OCM}\)

Từ đó suy ra: \(\widehat {OIM} = \widehat {AIF}\).

Suy ra: ba điểm \[M,I,F\]thẳng hàng.

Gọi \[x,{\rm{ }}y\] lần lượt là chiều dài và chiều rộng của vườn rau hình chữ nhật \[ABCD\].

R là bánh kính đường tròn \[\left( O \right)\] ngoại tiếp hình chữ nhật \[ABCD\].

Có \[xy = 640{\rm{ }}{m^2}\]

\[{R^2} = {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{y}{2}} \right)^2} = \frac{{{x^2}}}{{\rm{4}}} + \frac{{{y^2}}}{4}\]

Diện tích phần mở rộng: \[S = {S_{(O)}} - {S_{ABCD}} = \pi \left( {\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{4}} \right) - xy\]

Lại có: \[\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{4} \ge 2\sqrt {\frac{{{x^2}{y^2}}}{{4.4}}} = \frac{{2xy}}{4}\]

\[S \ge \pi \frac{{xy}}{{\rm{2}}} - xy = \frac{{640}}{{\rm{2}}}\pi - 640 \approx 365,31\]

Dấu “=” xảy ra khi \[x = y = \sqrt {640} = 8\sqrt {10} \].

Vậy diện tích nhỏ nhất của 4 phần đất trồng thêm hoa khoảng 365,31 m².