Cho tam giác nhọn \(\Delta ABC\)\((AB < AC)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) Các đường cao \(BE,\)\(CF\) cắt nhau tại \(H.\)
(a) Chứng minh tứ giác \(AFHE\) nội tiếp được đường tròn.
(b) Chứng minh \(AF.AB = AE.AC\).
(c) Vẽ \[CI\] vuông góc với \[OA\] tại \[I\]. Gọi \[M\] là trung điểm của \(BC.\) Chứng minh rằng: \(\widehat {ACF} = \widehat {AIF}\) và ba điểm \[M,I,F\] thẳng hàng.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Vì \(BE\) và \(CF\) là các đường cao của \(\Delta ABC.\) Suy ra \(BE \bot AC\)và \(CF \bot AB\).
Suy ra \(\widehat {AEH} = \widehat {AFH} = 90^\circ \).
Gọi \[N\] là trung điểm của \(AH\), ta có tam giác \[AHE\] vuông tại \[E\], có \[EN\] là trung tuyến nên \[NH = NE = NA\](1) (Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)
Tam giác \[AHF\] vuông tại \[F,\] có \[FN\]là trung tuyến nên \[NH = NF = NA\](2) (Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)
Từ (1), (2) ta có \[NH = NF = NA = NE\] nên \[E,F,H,A\]cùng thuộc đường tròn một đường tròn hay tứ giác \(AFHE\) nội tiếp được đường tròn.
b) Chứng minh được (g.g)
Suy ra: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AF}}\)
Do đó \(AF.AB = AE.AC\)
c) Chứng minh được tứ giác \[AFIC\] nội tiếp được đường tròn nên \(\widehat {ACF} = \widehat {AIF}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \[AF\])
\[M\] là trung điểm của \(BC.\) nên \[OM\] vuông góc với \[BC\]
Chứng minh được tứ giác \[OMIC\] nội tiếp được đường tròn nên \(\widehat {OIM} = \widehat {OCM}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \[OM\])
Ta chứng minh được: \(\widehat {ACF} = \widehat {OCM}\)
Từ đó suy ra: \(\widehat {OIM} = \widehat {AIF}\).
Suy ra: ba điểm \[M,I,F\]thẳng hàng.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi \[x,{\rm{ }}y\] lần lượt là chiều dài và chiều rộng của vườn rau hình chữ nhật \[ABCD\].
R là bánh kính đường tròn \[\left( O \right)\] ngoại tiếp hình chữ nhật \[ABCD\].
Có \[xy = 640{\rm{ }}{m^2}\]
\[{R^2} = {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{y}{2}} \right)^2} = \frac{{{x^2}}}{{\rm{4}}} + \frac{{{y^2}}}{4}\]
Diện tích phần mở rộng: \[S = {S_{(O)}} - {S_{ABCD}} = \pi \left( {\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{4}} \right) - xy\]
Lại có: \[\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{4} \ge 2\sqrt {\frac{{{x^2}{y^2}}}{{4.4}}} = \frac{{2xy}}{4}\]
\[S \ge \pi \frac{{xy}}{{\rm{2}}} - xy = \frac{{640}}{{\rm{2}}}\pi - 640 \approx 365,31\]
Dấu “=” xảy ra khi \[x = y = \sqrt {640} = 8\sqrt {10} \].
Vậy diện tích nhỏ nhất của 4 phần đất trồng thêm hoa khoảng 365,31 m2.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Không có ngày nào chất lượng không khí ở mức Tốt tương ứng với chỉ số AQI từ 0 đến dưới 50;
Có 8 ngày chất lượng không khí ở mức Trung bình tương ứng với chỉ số AQI từ 50 đến dưới 100;
Có 11 ngày chất lượng không khí ở mức Kém tương ứng với chỉ số AQI từ 100 đến dưới 150;
Có 11 ngày chất lượng không khí ở mức Xấu tương ứng với chỉ số AQI từ 150 đến dưới 200.
Ta có bảng tần số ghép nhóm sau:
Tỉ lệ ngày có chất lượng không khí ở mức Tốt là: \(\frac{0}{{30}} \cdot 100\% = 0\% \); Trung bình là \(\frac{8}{{30}} \cdot 100\% \approx 26,6\% \); ở mức Kém là \(\frac{{11}}{{30}} \approx 36,7\% \); ở mức Xấu là \(\frac{{11}}{{30}} \approx 36,7\% \).
Ta có bảng tần số tương ứng ghép nhóm sau:
b) Nhóm \(\left[ {100;150} \right)\) và \(\left[ {150;200} \right)\) có tần số cao nhất, đều bằng \(11\).
Chất lượng không khí tại Hà Nội từ ngày 4/2/2023 đến 5/3/2023 là không tốt.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập