Cho tam giác nhọn \(\Delta ABC\)\((AB < AC)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) Các đường cao \(BE,\)\(CF\) cắt nhau tại \(H.\)
(a) Chứng minh tứ giác \(AFHE\) nội tiếp được đường tròn.
(b) Chứng minh \(AF.AB = AE.AC\).
(c) Vẽ \[CI\] vuông góc với \[OA\] tại \[I\]. Gọi \[M\] là trung điểm của \(BC.\) Chứng minh rằng: \(\widehat {ACF} = \widehat {AIF}\) và ba điểm \[M,I,F\] thẳng hàng.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Vì \(BE\) và \(CF\) là các đường cao của \(\Delta ABC.\) Suy ra \(BE \bot AC\)và \(CF \bot AB\).
Suy ra \(\widehat {AEH} = \widehat {AFH} = 90^\circ \).
Gọi \[N\] là trung điểm của \(AH\), ta có tam giác \[AHE\] vuông tại \[E\], có \[EN\] là trung tuyến nên \[NH = NE = NA\](1) (Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)
Tam giác \[AHF\] vuông tại \[F,\] có \[FN\]là trung tuyến nên \[NH = NF = NA\](2) (Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)
Từ (1), (2) ta có \[NH = NF = NA = NE\] nên \[E,F,H,A\]cùng thuộc đường tròn một đường tròn hay tứ giác \(AFHE\) nội tiếp được đường tròn.
b) Chứng minh được (g.g)
Suy ra: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AF}}\)
Do đó \(AF.AB = AE.AC\)
c) Chứng minh được tứ giác \[AFIC\] nội tiếp được đường tròn nên \(\widehat {ACF} = \widehat {AIF}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \[AF\])
\[M\] là trung điểm của \(BC.\) nên \[OM\] vuông góc với \[BC\]
Chứng minh được tứ giác \[OMIC\] nội tiếp được đường tròn nên \(\widehat {OIM} = \widehat {OCM}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \[OM\])
Ta chứng minh được: \(\widehat {ACF} = \widehat {OCM}\)
Từ đó suy ra: \(\widehat {OIM} = \widehat {AIF}\).
Suy ra: ba điểm \[M,I,F\]thẳng hàng.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Gọi \[x,{\rm{ }}y\] lần lượt là chiều dài và chiều rộng của vườn rau hình chữ nhật \[ABCD\].
R là bánh kính đường tròn \[\left( O \right)\] ngoại tiếp hình chữ nhật \[ABCD\].
Có \[xy = 640{\rm{ }}{m^2}\]
\[{R^2} = {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{y}{2}} \right)^2} = \frac{{{x^2}}}{{\rm{4}}} + \frac{{{y^2}}}{4}\]
Diện tích phần mở rộng: \[S = {S_{(O)}} - {S_{ABCD}} = \pi \left( {\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{4}} \right) - xy\]
Lại có: \[\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{4} \ge 2\sqrt {\frac{{{x^2}{y^2}}}{{4.4}}} = \frac{{2xy}}{4}\]
\[S \ge \pi \frac{{xy}}{{\rm{2}}} - xy = \frac{{640}}{{\rm{2}}}\pi - 640 \approx 365,31\]
Dấu “=” xảy ra khi \[x = y = \sqrt {640} = 8\sqrt {10} \].
Vậy diện tích nhỏ nhất của 4 phần đất trồng thêm hoa khoảng 365,31 m2.
Lời giải
Bán kính của phần bánh ngoài cùng là \({R_1} = 10:2 = 5\,{\rm{(cm)}}\)
Bán kính của lỗ tròn bên trong là \({R_2} = 4:2 = 2\,{\rm{(cm)}}\)
Diện tích mặt trên của chiếc bánh là diện tích của hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn đồng tâm có bán kính \({R_1}\) và \({R_2}\) và bằng:
\(S = \pi \left( {R_1^2 - R_2^2} \right) = 3,14.\left( {{5^2} - {2^2}} \right) = 65,94\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^2})\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập