I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8,0 điểm)

Cho 2 biểu thức: \(P = \frac{{\sqrt x - 5}}{{3\sqrt x }}\) và \(Q = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2x - 13\sqrt x - 3}}{{x - 9}}\) (với \(x > 0\,,\,\,x \ne 9\)).

(a) Tính giá trị của biểu thức P khi \(x = 4\).

(b) Chứng minh \(Q = \frac{{{\rm{3}}\sqrt x }}{{\sqrt x + {\rm{3}}}}\).

(c) Cho\(A = P\,.\,\,Q\). Tìm số nguyên x lớn nhất để \(A < \frac{1}{2}\).

a) Thay \(x = 4\) (thỏa mãn) tính được \(P = \frac{{ - 1}}{2}\).

Vậy khi \(x = 4\) thì \(P = \frac{{ - 1}}{2}\).

b) Với \(x > 0,x \ne 9\), ta có:

\[\begin{array}{l}Q = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2x - 13\sqrt x - 3}}{{x - 9}}\\Q = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{2x - 13\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\Q = \frac{{x + 4\sqrt x + 3 + 2x - 13\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\Q = \frac{{3x - 9\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\Q = \frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\Q = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\end{array}\]

Vậy \(Q = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\left( {x \ge 0;x \ne 4} \right)\).

c) Với \(x \ge 0;x \ne 4\) ta có:

\(A = P \cdot Q = \frac{{\sqrt x - 5}}{{3\sqrt x }} \cdot \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 3}}\)

Theo bài, \(A < \frac{1}{2}\) nên

\(\frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 3}} < \frac{1}{2}\)

\(\frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 3}} - \frac{1}{2} < 0\)

\(\frac{{2\sqrt x - 10 - \sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}} < 0\)

\(\frac{{\sqrt x - 13}}{{\sqrt x + 3}} < 0\)

Vì \(x \ge 0\) nên \(\sqrt x + 3 > 0\), do đó để \(\frac{{\sqrt x - 13}}{{\sqrt x + 3}} < 0\) thì \(\sqrt x - 13 < 0\) hay \(\sqrt x < 13\), tức là \(x < 169\).

Do \(x\) là số nguyên lớn nhất nên \(x = 168\) (thỏa mãn).

Vậy \(x = 168\).