I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8,0 điểm)

Cho 2 biểu thức: \(P = \frac{{\sqrt x - 5}}{{3\sqrt x }}\) và \(Q = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2x - 13\sqrt x - 3}}{{x - 9}}\) (với \(x > 0\,,\,\,x \ne 9\)).

(a) Tính giá trị của biểu thức P khi \(x = 4\).

(b) Chứng minh \(Q = \frac{{{\rm{3}}\sqrt x }}{{\sqrt x + {\rm{3}}}}\).

(c) Cho\(A = P\,.\,\,Q\). Tìm số nguyên x lớn nhất để \(A < \frac{1}{2}\).

a) Gọi \(J\) là trung điểm \[ID\].

Vì \(IK \bot AB\) nên \(\widehat {INB} = 90^\circ \) suy ra \(\Delta IND\) vuông tại \[N.\] Do đó \(JI = JD = JN = \frac{1}{2}ID\)(1)

Xét \((O)\) có đường kính IK, góc nội tiếp \(\widehat {IMK}\)chắn nửa đường tròn nên \[\widehat {IMK} = 90^\circ \] nên \[\Delta IMD\] vuông tại \[M\]. Do đó \(JI = JD = JM = \frac{1}{2}ID\) (2)

Từ (1), (2):\(JN = JI = JD = JM\).

Suy ra bốn điểm I, N, D, M cùng thuộc một đường tròn.

Do đó tứ giác \(INDM\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh được (g.g) suy ra \(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{IK}}{{IC}}\).

Do đó \(IM.\,IC = IN.\,\,IK\).

c) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng ID và CK, chứng minh E thuộc đường tròn \((O)\).

Chứng minh được:\(D\) là trực tâm tam giác IKC, từ đó suy ra \[IE \bot KC\]. Do đó điểm E thuộc đường tròn \((O)\).

Gọi vận tốc của xe thứ nhất là \(x\)(km/h, \(x > 12\) ). Thì vận tốc của xe thứ hai là: \(x - 12\) (km/h).

Thời gian đi hết quãng đường \(AB\) của xe thứ nhất là \(\frac{{270}}{x}\) (giờ).

Thời gian đi hết quãng đường \(AB\) của xe thứ hai là \(\frac{{270}}{{x - 12}}\) (giờ).

Vì Ôtô thứ nhất đến sớm hơn ô tô thứ 2 là \(45\)phút \( = \frac{3}{4}\) giờ.

Ta có phương trình:

\(\frac{{270}}{{x - 12}} - \frac{{270}}{x} = \frac{3}{4}\)

\(\frac{{90}}{{x - 12}} - \frac{{90}}{x} = \frac{1}{4}\)

\(\frac{{1080}}{{{x^2} - 12x}} = \frac{1}{4}\)

\({x^2} - 12x - 4320 = 0\)

\(\left( {x + 60} \right)\left( {x - 72} \right) = 0\)

\(x + 60 = 0\) hoặc \[x - 72 = 0\]

Suy ra \(x = - 60\) (không thỏa mãn); \(x = 72\)(thỏa mãn).

Vậy vận tốc của xe thứ nhất là \(72\) km/h; vận tốc của xe thứ hai là \(72 - 12{\rm{ }} = {\rm{ }}60{\rm{ }}\)(km/h).