Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hàm số \(y = a{x^2}\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị hàm số \(\left( P \right)\).

(a) Xác định \(a\) biết đồ thị hàm số \(\left( P \right)\) đi qua điểm\(A\left( { - 1\,;\,\,1} \right)\).

(b) Vẽ đồ thị hàm số \(\left( P \right)\) .

(c) Cho đường thẳng \((d):y = 4x - 3\) . Tìm toạ độ giao điểm và .

Gọi vận tốc của xe thứ nhất là \(x\)(km/h, \(x > 12\) ). Thì vận tốc của xe thứ hai là: \(x - 12\) (km/h).

Thời gian đi hết quãng đường \(AB\) của xe thứ nhất là \(\frac{{270}}{x}\) (giờ).

Thời gian đi hết quãng đường \(AB\) của xe thứ hai là \(\frac{{270}}{{x - 12}}\) (giờ).

Vì Ôtô thứ nhất đến sớm hơn ô tô thứ 2 là \(45\)phút \( = \frac{3}{4}\) giờ.

Ta có phương trình:

\(\frac{{270}}{{x - 12}} - \frac{{270}}{x} = \frac{3}{4}\)

\(\frac{{90}}{{x - 12}} - \frac{{90}}{x} = \frac{1}{4}\)

\(\frac{{1080}}{{{x^2} - 12x}} = \frac{1}{4}\)

\({x^2} - 12x - 4320 = 0\)

\(\left( {x + 60} \right)\left( {x - 72} \right) = 0\)

\(x + 60 = 0\) hoặc \[x - 72 = 0\]

Suy ra \(x = - 60\) (không thỏa mãn); \(x = 72\)(thỏa mãn).

Vậy vận tốc của xe thứ nhất là \(72\) km/h; vận tốc của xe thứ hai là \(72 - 12{\rm{ }} = {\rm{ }}60{\rm{ }}\)(km/h).

Gọi chiều rộng của đáy hình hộp chữ nhật là: \(x(\;{\rm{cm}})\,\,\,\,(30 > x > 0)\).

Khi đó chiều dài của đáy hình hộp chữ nhật là: \(30 - x\,\,(\;{\rm{cm}})\).

Thể tích hình hộp chữ nhật là: \(V = x \cdot (30 - x) \cdot 20\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Áp dụng bất đẳng thức: \(ab \le \frac{{{{(a + b)}^2}}}{4}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}x.(30 - x) \le \frac{{{{(x + 30 - x)}^2}}}{4}\\x.(30 - x) \cdot 20 \le 20 \cdot \frac{{{{30}^2}}}{4}\\V \le 4500\end{array}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x = 30 - x,\) tức là \(x = 15\).

Vậy thể tích của chiếc hộp đạt giá trị lớn nhất là \(4500\;c{m^3}\).