Từ một tấm tôn hình chữ nhật có chiều rộng 20 cm , chiều dài 60 cm , người ta chế tạo thành mặt xung quanh của một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật sao cho chiều rộng của tấm tôn bằng chiều cao của chiếc hộp. Thể tích lớn nhất có thể của chiếc hộp là bao nhiêu?

a) Gọi \(J\) là trung điểm \[ID\].

Vì \(IK \bot AB\) nên \(\widehat {INB} = 90^\circ \) suy ra \(\Delta IND\) vuông tại \[N.\] Do đó \(JI = JD = JN = \frac{1}{2}ID\)(1)

Xét \((O)\) có đường kính IK, góc nội tiếp \(\widehat {IMK}\)chắn nửa đường tròn nên \[\widehat {IMK} = 90^\circ \] nên \[\Delta IMD\] vuông tại \[M\]. Do đó \(JI = JD = JM = \frac{1}{2}ID\) (2)

Từ (1), (2):\(JN = JI = JD = JM\).

Suy ra bốn điểm I, N, D, M cùng thuộc một đường tròn.

Do đó tứ giác \(INDM\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh được (g.g) suy ra \(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{IK}}{{IC}}\).

Do đó \(IM.\,IC = IN.\,\,IK\).

c) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng ID và CK, chứng minh E thuộc đường tròn \((O)\).

Chứng minh được:\(D\) là trực tâm tam giác IKC, từ đó suy ra \[IE \bot KC\]. Do đó điểm E thuộc đường tròn \((O)\).

Gọi vận tốc của xe thứ nhất là \(x\)(km/h, \(x > 12\) ). Thì vận tốc của xe thứ hai là: \(x - 12\) (km/h).

Thời gian đi hết quãng đường \(AB\) của xe thứ nhất là \(\frac{{270}}{x}\) (giờ).

Thời gian đi hết quãng đường \(AB\) của xe thứ hai là \(\frac{{270}}{{x - 12}}\) (giờ).

Vì Ôtô thứ nhất đến sớm hơn ô tô thứ 2 là \(45\)phút \( = \frac{3}{4}\) giờ.

Ta có phương trình:

\(\frac{{270}}{{x - 12}} - \frac{{270}}{x} = \frac{3}{4}\)

\(\frac{{90}}{{x - 12}} - \frac{{90}}{x} = \frac{1}{4}\)

\(\frac{{1080}}{{{x^2} - 12x}} = \frac{1}{4}\)

\({x^2} - 12x - 4320 = 0\)

\(\left( {x + 60} \right)\left( {x - 72} \right) = 0\)

\(x + 60 = 0\) hoặc \[x - 72 = 0\]

Suy ra \(x = - 60\) (không thỏa mãn); \(x = 72\)(thỏa mãn).

Vậy vận tốc của xe thứ nhất là \(72\) km/h; vận tốc của xe thứ hai là \(72 - 12{\rm{ }} = {\rm{ }}60{\rm{ }}\)(km/h).