Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Quãng đường \(AB\)dài \(270\) km, hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ \(A\) đến \(B\), ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai \(12\) km/h nên đến trước ô tô thứ hai \(45\) phút . Tính vận tốc mỗi xe.

Cho đường tròn \((O)\) có dây cung \(AB\) cố định (\(AB\) không phải là đường kính). Kẻ đường kính \(IK\) vuông góc với \(AB\) tại N sao cho điểm I thuộc cung lớn\(AB\). Lấy điểm M bất kỳ trên cung lớn \(AB\), kẻ \(MK\) cắt \(AB\) tại \(D\). Hai đường thẳng \(IM\) và \(AB\) cắt nhau tại \(C\).

(a) Chứng minh tứ giác \(INDM\) là tứ giác nội tiếp.

(b) Chứng minh \(IM.\,\,IC = IN.\,\,IK\).

(c) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng \(ID\) và \(CK\). Chứng minh E thuộc đường tròn \((O).\)

Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hàm số \(y = a{x^2}\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị hàm số \(\left( P \right)\).

(a) Xác định \(a\) biết đồ thị hàm số \(\left( P \right)\) đi qua điểm\(A\left( { - 1\,;\,\,1} \right)\).

(b) Vẽ đồ thị hàm số \(\left( P \right)\) .

(c) Cho đường thẳng \((d):y = 4x - 3\) . Tìm toạ độ giao điểm và .

Từ một tấm tôn hình chữ nhật có chiều rộng 20 cm , chiều dài 60 cm , người ta chế tạo thành mặt xung quanh của một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật sao cho chiều rộng của tấm tôn bằng chiều cao của chiếc hộp. Thể tích lớn nhất có thể của chiếc hộp là bao nhiêu?

Cho 2 biểu thức: \(P = \frac{{\sqrt x - 5}}{{3\sqrt x }}\) và \(Q = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2x - 13\sqrt x - 3}}{{x - 9}}\) (với \(x > 0\,,\,\,x \ne 9\)).

(a) Tính giá trị của biểu thức P khi \(x = 4\).

(b) Chứng minh \(Q = \frac{{{\rm{3}}\sqrt x }}{{\sqrt x + {\rm{3}}}}\).

(c) Cho\(A = P\,.\,\,Q\). Tìm số nguyên x lớn nhất để \(A < \frac{1}{2}\).