Cho đường tròn \((O)\) có dây cung \(AB\) cố định (\(AB\) không phải là đường kính). Kẻ đường kính \(IK\) vuông góc với \(AB\) tại N sao cho điểm I thuộc cung lớn\(AB\). Lấy điểm M bất kỳ trên cung lớn \(AB\), kẻ \(MK\) cắt \(AB\) tại \(D\). Hai đường thẳng \(IM\) và \(AB\) cắt nhau tại \(C\).

(a) Chứng minh tứ giác \(INDM\) là tứ giác nội tiếp.

(b) Chứng minh \(IM.\,\,IC = IN.\,\,IK\).

(c) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng \(ID\) và \(CK\). Chứng minh E thuộc đường tròn \((O).\)

Gọi vận tốc của xe thứ nhất là \(x\)(km/h, \(x > 12\) ). Thì vận tốc của xe thứ hai là: \(x - 12\) (km/h).

Thời gian đi hết quãng đường \(AB\) của xe thứ nhất là \(\frac{{270}}{x}\) (giờ).

Thời gian đi hết quãng đường \(AB\) của xe thứ hai là \(\frac{{270}}{{x - 12}}\) (giờ).

Vì Ôtô thứ nhất đến sớm hơn ô tô thứ 2 là \(45\)phút \( = \frac{3}{4}\) giờ.

Ta có phương trình:

\(\frac{{270}}{{x - 12}} - \frac{{270}}{x} = \frac{3}{4}\)

\(\frac{{90}}{{x - 12}} - \frac{{90}}{x} = \frac{1}{4}\)

\(\frac{{1080}}{{{x^2} - 12x}} = \frac{1}{4}\)

\({x^2} - 12x - 4320 = 0\)

\(\left( {x + 60} \right)\left( {x - 72} \right) = 0\)

\(x + 60 = 0\) hoặc \[x - 72 = 0\]

Suy ra \(x = - 60\) (không thỏa mãn); \(x = 72\)(thỏa mãn).

Vậy vận tốc của xe thứ nhất là \(72\) km/h; vận tốc của xe thứ hai là \(72 - 12{\rm{ }} = {\rm{ }}60{\rm{ }}\)(km/h).

Gọi chiều rộng của đáy hình hộp chữ nhật là: \(x(\;{\rm{cm}})\,\,\,\,(30 > x > 0)\).

Khi đó chiều dài của đáy hình hộp chữ nhật là: \(30 - x\,\,(\;{\rm{cm}})\).

Thể tích hình hộp chữ nhật là: \(V = x \cdot (30 - x) \cdot 20\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Áp dụng bất đẳng thức: \(ab \le \frac{{{{(a + b)}^2}}}{4}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}x.(30 - x) \le \frac{{{{(x + 30 - x)}^2}}}{4}\\x.(30 - x) \cdot 20 \le 20 \cdot \frac{{{{30}^2}}}{4}\\V \le 4500\end{array}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x = 30 - x,\) tức là \(x = 15\).

Vậy thể tích của chiếc hộp đạt giá trị lớn nhất là \(4500\;c{m^3}\).