Cho đường tròn \((O)\) có dây cung \(AB\) cố định (\(AB\) không phải là đường kính). Kẻ đường kính \(IK\) vuông góc với \(AB\) tại N sao cho điểm I thuộc cung lớn\(AB\). Lấy điểm M bất kỳ trên cung lớn \(AB\), kẻ \(MK\) cắt \(AB\) tại \(D\). Hai đường thẳng \(IM\) và \(AB\) cắt nhau tại \(C\).

(a) Chứng minh tứ giác \(INDM\) là tứ giác nội tiếp.

(b) Chứng minh \(IM.\,\,IC = IN.\,\,IK\).

(c) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng \(ID\) và \(CK\). Chứng minh E thuộc đường tròn \((O).\)

Gọi vận tốc của xe thứ nhất là \(x\)(km/h, \(x > 12\) ). Thì vận tốc của xe thứ hai là: \(x - 12\) (km/h).

Thời gian đi hết quãng đường \(AB\) của xe thứ nhất là \(\frac{{270}}{x}\) (giờ).

Thời gian đi hết quãng đường \(AB\) của xe thứ hai là \(\frac{{270}}{{x - 12}}\) (giờ).

Vì Ôtô thứ nhất đến sớm hơn ô tô thứ 2 là \(45\)phút \( = \frac{3}{4}\) giờ.

Ta có phương trình:

\(\frac{{270}}{{x - 12}} - \frac{{270}}{x} = \frac{3}{4}\)

\(\frac{{90}}{{x - 12}} - \frac{{90}}{x} = \frac{1}{4}\)

\(\frac{{1080}}{{{x^2} - 12x}} = \frac{1}{4}\)

\({x^2} - 12x - 4320 = 0\)

\(\left( {x + 60} \right)\left( {x - 72} \right) = 0\)

\(x + 60 = 0\) hoặc \[x - 72 = 0\]

Suy ra \(x = - 60\) (không thỏa mãn); \(x = 72\)(thỏa mãn).

Vậy vận tốc của xe thứ nhất là \(72\) km/h; vận tốc của xe thứ hai là \(72 - 12{\rm{ }} = {\rm{ }}60{\rm{ }}\)(km/h).

a) Vì đồ thị hàm số \(\left( P \right)\) đi qua điểm\(A\left( { - 1;\,1} \right)\), thay \(x = - 1;y = 1\) và hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\), ta có:

\(1 = a.{\left( { - 1} \right)^2}\) suy ra \(a = 1\) (thỏa mãn).

Vậy \(a = 1\).

b) Thay \(a = 1\)vào \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\), ta được \(y = {x^2}\).

Lấy điểm

Đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) là đường parabol đi qua 5 điểm trên.

c) Hoành độ giao điểm và thỏa mãn:

\({x^2} = 4x - 3\)

\({x^2} - 4x + 3 = 0\)

Phương trình trên có \(a + b + c = 0\) nên \(x = 1\); \(x = 3\).

Với \(x = 1\) ta có \(y = 1\);

Với \(x = 3\) ta có \(y = 9\).

Tọa điểm hai giao điểm của và là (3; 9); (1; 1).