Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;0;2} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y + 1 = 0\). Số mặt phẳng chứa hai điểm \(A,B\) và tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) là

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Dựa vào các dữ kiện tìm phương trình mặt phẳng.

Lời giải

Gọi phương trình mặt phẳng là: \(\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0} \right)\).

Theo đề bài, mặt phẳng qua \(A,B\) nên ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A + D = 0}\\{2C + D = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A = 2C}\\{D = - 2C}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng: \(2Cx + By + Cz - 2C = 0\).

\(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1,1,0} \right)\) và \(R = 1\).

Vì \(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) nên

\({d_{\left( {L\left( P \right)} \right)}} = R \Leftrightarrow \frac{{2C + B - 2C}}{{\sqrt {5{C^2} + {B^2}} }} = 1 \Leftrightarrow {B^2} = 5{C^2} + {B^2} \Leftrightarrow C = 0\).

Suy ra \(A = D = 0\).

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):y = 0\).

Vậy có 1 mặt phẳng.