Có hai hộp đựng phiếu thi, mỗi phiếu ghi một câu hỏi. Hộp thứ nhất có 20 phiếu và hộp thứ hai có 10 phiếu. Sinh viên \(A\) đi thi chỉ thuộc 10 câu ở hộp thứ nhất và 8 câu ở hộp thứ hai. Thầy giáo rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một phiếu thi, sau đó cho sinh viên \(A\) rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ 2 phiếu mà thầy giáo đã rút. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Giải chi tiết

Vì \({z_A} \cdot {z_B} < 0\) nên \(A,{\rm{B}}\) nằm khác phía so với mặt phẳng ( \(Oxy\) ).
Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,B\) lên mặt phẳng ( \(Oxy\) )
\( \Rightarrow H\left( {1; - 3;0} \right),K\left( { - 2;1;0} \right)\).

Gọi \({A_1}\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(\left( {Oxy} \right) \Rightarrow {A_1}\left( {1; - 3;4} \right)\).
Gọi \({A_2}\) thỏa \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = \overrightarrow {MN} \Rightarrow {A_1}{A_2} = 2\)
\( \Rightarrow {A_2} \in \) đường tròn ( \(C\) ) nằm trong mặt phẳng song song với ( \(Oxy\) ) và có tâm \({A_1}\), bán kính \(R = 2\).
Khi đó: \(\left| {AM - BN} \right| = \left| {{A_1}M - BN} \right| = \left| {{A_2}N - BN} \right| \le {A_2}B\)
Dấu xảy ra và \({A_2}B\) đạt giá trị lớn nhất \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} \) ngược hướng với \(\overrightarrow {HK} \).
\( \Rightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} = - \frac{{\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {HK} } \right|}}\overrightarrow {HK} = \left( {\frac{6}{5}; - \frac{8}{5};0} \right) \Rightarrow {A_2}\left( {\frac{{11}}{5}; - \frac{{23}}{5};4} \right) \Rightarrow {A_2}B = \sqrt {53} \).
Vậy giá trị lớn nhất của \(\left| {AM - BN} \right|\) bằng \(\sqrt {53} \).

Đáp án cần chọn là: D

Giải chi tiết

Ta có \(g'\left( x \right) = 2x\). \(f'\left( {{x^2} + 1} \right) + 2x - 3{x^2} + 4{x^3} = x\). \(\left( {2f'\left( {{x^2} + 1} \right) + 2 - 3x + 4{x^2}} \right)\)
Ta thấy \(4{x^2} - 3x + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) và \({x^2} + 1 > 1,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f'\left( {{x^2} + 1} \right) > 0\)
Do đó \(2f'\left( {{x^2} + 1} \right) + 2 - 3x + 4{x^2} > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\)

Hàm số có đúng một cực tiểu và không có cực đại.

Đáp án cần chọn là: C