Cho $n = {20}^{25}$. Có bao nhiêu ước số của $n^2$ nhỏ hơn n nhưng không là ước số của n?

Đáp án:  _____

Đáp án đúng là "1250"

Phương pháp giải

Tư duy logic.

Lời giải

Ta xét trường hợp tổng quát: \(n = {a^r}.{b^s}\), với \(a,b\) là các số nguyên tố.

Số ước của \({n^2} = {a^{2r}}.{b^{2r}}:\left( {2r + 1} \right).\left( {2s + 1} \right)\).

Với mỗi ước của \({n^2}\) nhỏ hơn \(n\), ta thấy tồn tại một ước của \({n^2}\) lớn hơn \(n\).

Như vậy, số ước của \({n^2}\) nhỏ hơn \(n\) là \(\frac{{\left( {2r + 1} \right).\left( {2s + 1} \right) - 1}}{2} = 2.r.s + r + s\).

Số ước của \(n = {a^r}.{b^r}:\left( {r + 1} \right).\left( {s + 1} \right)\).

Như vậy, số ước của \(n\) nhỏ hơn \(n\) là \(\left( {r + 1} \right).\left( {s + 1} \right) - 1 = r.s + r + s\).

Vì mỗi ước của \(n\) cũng là ước của \({n^2}\) nên số ước của \({n^2}\) nhỏ hơn \(n\) nhưng không là ước của \(n\) là

\(\left( {2.r.s + r + s} \right) - \left( {r.s + r + s} \right) = r.s\)

Áp dụng vào trường hợp này: \(n = {20^{25}} = {2^{50}}{.5^{25}} \Rightarrow r.s = 1250\).