Cho \[\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {{{\left( {3\tan x + 2\cot x} \right)}^2}dx}  = a + b\frac{{\sqrt 3 }}{3} + c\frac{\pi }{{12}}\left( * \right)\]. Biết rằng tồn tại duy nhất bộ ba số nguyên \[a,b,c\] thỏa mãn \[\left( * \right)\]. Tổng \[T = a + b + c\] có giá trị bằng bao nhiêu?

Lời giải

Đáp án: 208.

Gọi \(x\) là số lượng máy chủ và \(t\) (giờ) thời gian hoàn thành công việc. Điều kiện \(x > 0\).

Năng suất: 250 lệnh/giờ/máy: \(250.x.t = 18000 \Rightarrow t = \frac{{72}}{x}\).

Vì thời gian làm việc tối đa là 8 giờ nên \(t \le 8 \Leftrightarrow x \ge 9.\)

Tổng chi phí: \(C\left( x \right) = 15x + 01,2x.t + 8t = 15x + \frac{{576}}{x} + 8,64\).

\( \Rightarrow C'\left( x \right) = 15 - \frac{{576}}{{{x^2}}} > 0,{\rm{ }}\forall x \ge 9 \Rightarrow \min C\left( x \right) = C\left( 9 \right) = 207,64 \approx 208\) triệu đồng.

Lời giải

\(v\left( t \right) =  - 0,1{t^3} + 1,1{t^2}\, \Rightarrow \,h\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} \,dt =  - \frac{1}{{40}}{t^4} + \frac{{11}}{{30}}{t^3} + C\)

\(h\left( 0 \right) = 20\, \Rightarrow \,C = 20\, \Rightarrow \,h\left( t \right) =  - \frac{1}{{40}}{t^4} + \frac{{11}}{{30}}{t^3} + 20\)

\(h'\left( t \right) = 0\, \Leftrightarrow \, - 0,1{t^3} + 1,1{t^2} = 0\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 11\end{array} \right.\)

\(h\left( {11} \right) =  - \frac{1}{{40}}{11^4} + \frac{{11}}{{30}}{11^3} + 20 = \frac{{17041}}{{120}} \approx 142\,cm\)

a) Chiều cao tối đa của cây lúa là \(150\,cm\): Sai vì chiều cao tối đa của cây lúa là 142 cm:

b) Giai đoạn tăng trưởng chiều cao của cây lúa kéo dài \(12\) tuần: Sai vì chỉ có 11 tuần.

c) Vào thời điểm cây lúa phát triển nhanh nhất, chiều cao của cây đã lớn hơn \(80\,cm\).

Ta xét: \(v\left( t \right) =  - 0,1{t^3} + 1,1{t^2}\, \Rightarrow \,v'\left( t \right) =  - 0,3{t^2} + 2,2t\,;\,v'\left( t \right) = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \frac{{22}}{3}\end{array} \right.\)

\(t\)	0                        \(\frac{{22}}{3}\)                      +$\infty$
\(v'\left( t \right)\)	+                  0            -
\(v\left( t \right)\)

Suy ra cây lúa phát triển nhanh nhất tại thời điểm \(t = \frac{{22}}{3}\).

Khi đó chiều cao của cây lúa bằng

\(h\left( {\frac{{22}}{3}} \right) =  - \frac{1}{{40}}{\left( {\frac{{22}}{3}} \right)^4} + \frac{{11}}{{30}}{\left( {\frac{{22}}{3}} \right)^3} + 20 = \frac{{37382}}{{405}} \approx 92,3\,cm\,\, > \,80\,cm\)

c) Đúng

d)  \(h\left( t \right) =  - \frac{1}{{40}}{t^4} + \frac{{11}}{{30}}{t^3} + 20\) Đúng