Nam chơi một trò chơi như sau: Nam có hai chiếc hộp. Chiếc hộp thứ nhất chứa \(x\) quả bóng màu đỏ, \(y\) quả bóng màu xanh; chiếc hộp thứ hai chứa \(z\) quả bóng màu đỏ, \(t\) quả bóng màu xanh (\(x,y,z,t \in {\mathbb{N}^*}\)). Nam lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai, sau đó lấy ngẫu nhiên hai quả bóng từ hộp thứ hai.

Gọi \(A\) là biến cố Lấy được quả bóng màu xanh từ hộp thứ nhất

\[B\] là biến cố Lấy được hai quả bóng khác màu từ hộp thứ hai

Với bộ giá trị nào của x, y, z, t sau đây thì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập?

Phương pháp giải:

Chỉ ra \(P(AB) = P(A)P(B)\).

Giải chi tiết:

Ta có:

                                                   \[P(A) = \frac{y}{{x + y}}\]

                            \[P(AB) = \frac{y}{{x + y}} \cdot \frac{{z(t + 1)}}{{\left( \begin{array}{c}z + t + 1\\2\end{array} \right)}}\]

(do AB chính là việc lấy được một bóng xanh từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai,

sau đó lấy được hai bóng khác màu từ hộp thứ hai).

Mặt khác:

            \[P(B) = P(AB) + P(\bar AB) = \frac{y}{{x + y}} \cdot \frac{{z(t + 1)}}{{\left( \begin{array}{c}z + t + 1\\2\end{array} \right)}} + \frac{x}{{x + y}} \cdot \frac{{(z + 1)t}}{{\left( \begin{array}{c}z + t + 1\\2\end{array} \right)}}\]

Cho \(P(AB) = P(A)P(B)\), ta được:

    \[\frac{y}{{x + y}} \cdot \frac{{z(t + 1)}}{{\left( \begin{array}{c}z + t + 1\\2\end{array} \right)}} = \frac{y}{{x + y}} \cdot \frac{{yz(t + 1) + xt(z + 1)}}{{(x + y)\left( \begin{array}{c}z + t + 1\\2\end{array} \right)}}\]

Suy ra:

                                          \[(x + y)z(t + 1) = yz(t + 1) + xt(z + 1)\]

Thay các phương án vào, chỉ có

                                  \[x = 2,\;y = 5,\;z = 3,\;t = 3\] thỏa mãn điều kiện.