Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, chọn ngẫu nhiên một điểm mà tọa độ là các số nguyên có giá trị tuyệt đối không hơn hay bằng 4. Nếu các điểm có cùng xác suất được chọn như nhau, hãy tính xác suất để chọn được một điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2:

Phương pháp giải:

Biểu diễn không gian mẫu dưới dạng tập hợp

\(\Omega = \{ (x;y)\mid |x| \le 4,\;|y| \le 4,\;x,y \in \mathbb{Z}\} \).

Gọi \(A\) là biến cố Tập hợp các điểm có khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng\(2\)biểu diễn \(A\) dưới dạng tập hợp và tìm số phần tử của \(A\).

Tính xác suất: \(P(A) = \frac{{|A|}}{{|\Omega |}}\).

Giải chi tiết:

Không gian mẫu:

          \[\Omega = \{ (x;y)\mid |x| \le 4,\;|y| \le 4,\;x,y \in \mathbb{Z}\} .\]

Có \(9\) cách chọn \(x\) và \(9\) cách chọn \(y\), nên:

                                                 \[|\Omega | = 9 \cdot 9 = 81.\]

Gọi \(A\) là biến cố \textquotedblleft khoảng cách đến gốc tọa độ không vượt quá \(2\)

Khi đó:

                 \[A = \{ (x;y)\mid {x^2} + {y^2} \le 4,\;x,y \in \mathbb{Z}\} .\]

Đếm số điểm nguyên thỏa mãn:

      \[\begin{array}{*{20}{c}}x&{}\\0&{y = 0, \pm 1, \pm 2\quad }\\{ \pm 1}&{y = 0, \pm 1\quad }\\{ \pm 2}&{y = 0\quad }\end{array}\]

Suy ra:

                                          \[|A| = 5 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 13.\]

Vậy xác suất cần tìm là:

                                                  \[P(A) = \frac{{13}}{{81}}.\]