Cho ∆ABC, từ điểm D trên cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại F và kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E.

Chứng minh rằng: $\frac{\text{A}\text{E}}{\text{A}\text{B}}+\frac{\text{A}\text{F}}{\text{A}\text{C}}=1.$

a) Gọi p (triệu đồng) là giá của mỗi ti vi, x là số ti vi. Khi đó, hàm cầu là p = p(x).

Theo giả thiết, tốc độ thay đổi của x tỉ lệ với tốc độ thay đổi của p nên hàm số p = p(x) là hàm số bậc nhất nên. Do đó, p(x) = ax + b (a khác 0).

Giá tiền p₁ = 14 ứng với x₁ = 1 000, giá tiền p₂ = 13,5 ứng với x₂ = 1 000 + 100 = 1 100.

Do đó, phương trình đường thẳng p(x) = ax + b đi qua hai điểm (1 000; 14) và (1 100; 13,5).

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}14=1000\text{a}+\text{b}\\ 13,5=1100\text{a}+\text{b}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\text{a}=-\frac{-1}{200}\\ \text{b}=19\end{array}$ (thỏa mãn).

Vậy hàm cầu là: p(x) $=-\frac{1}{200}\text{x}+19.$

b) Vì p $=-\frac{1}{200}\text{x}+19\Rightarrow$ x = –200p + 3 800.

Hàm doanh thu từ tiền bán ti vi là:

R(p) = px = p(−200p + 3 800) = −200p² + 3 800p.

Để doanh thu là lớn nhất thì ta cần tìm p sao cho R đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: R′(p) = −400p + 3 800, R′(p) = 0 $\iff \text{p}=\frac{-19}{2}$.

Bảng biến thiên:

Vậy công ty nên giảm giá số tiền một chiếc ti vi là: $14-\frac{19}{2}=4,5$ (triệu đồng) thì doanh thu là lớn nhất.

c) Doanh thu bán hàng của x sản phẩm là:

$R\left(x\right)=x.p\left(x\right)=x.\left(\frac{-1}{200}x+19\right)=\frac{-x^2}{200}+19x$ (triệu đồng).

Do đó, hàm số thể hiện lợi nhuận thu được khi bán x sản phẩm là:

$P\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right)=\frac{-x^2}{200}+19x-12000+3x=\frac{-x^2}{200}+22x-12000$ (triệu đồng).

Để lợi nhuận là lớn nhất thì P(x) là lớn nhất.

Ta có: $P\text{'}\left(x\right)=\frac{-x}{100}+22,P\text{'}\left(x\right)=0\iff x=2200$.

Bảng biến thiên:

Vậy có 2 200 ti vi được bán ra thì lợi nhuận là cao nhất.

Số ti vi mua tăng lên là: 2 200 – 1 000 = 1 200 (chiếc).

Vậy cửa hàng nên đặt giá bán là: $14-0,5.\frac{1200}{100}=8$ (triệu đồng).

Ta kí hiệu các điểm như trong hình vẽ.

Có AI = IB $=\frac{\text{A}\text{B}}{2}=\frac{20}{2}=10$ (m), IJ = BC = 20 (m).

Đặt EF = FG = GH = HE = x (m, x > 0).

$\text{F}\text{H}=\text{E}\text{G}=\sqrt{\text{E}{\text{H}}^2+\text{H}{\text{G}}^2}=\sqrt{{\text{x}}^2+{\text{x}}^2}=\text{x}\sqrt{2}\left(\text{m}\right)$.

$\text{E}\text{I}=\text{G}\text{J}=\frac{\text{I}\text{J}-\text{E}\text{G}}{2}=\frac{20-\text{x}\sqrt{2}}{2}\left(\text{m}\right)$.

Xét tam giác AIE vuông tại I:

$\text{A}\text{E}=\sqrt{\text{A}{\text{I}}^2+\text{I}{\text{E}}^2}=\sqrt{10^2+{\left(\frac{20-\text{x}\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{{\text{x}}^2}{2}-10\sqrt{2}\text{x}+200}$ (m).

LN = OM = EG = HF = x$\sqrt{2}$ (m), LP = $\frac{\text{L}\text{N}}{2}=\frac{\text{x}\sqrt{2}}{2}$ (m).

Xét tam giác KLP vuông tại P:

$\text{K}\text{P}=\sqrt{\text{K}{\text{L}}^2-\text{L}{\text{P}}^2}=\sqrt{\frac{{\text{x}}^2}{2}-10\sqrt{2}\text{x}+200-\frac{{\text{x}}^2}{2}}=\sqrt{200-10\sqrt{2}\text{x}}$ (m).

Điều kiện: x ≤ $10\sqrt{2}$.

Thể tích khối chóp là: $\text{V}=\frac{1}{3}\cdot \text{K}\text{P}\cdot {\text{S}}_{\text{L}\text{M}\text{N}\text{O}}=\frac{1}{3}\sqrt{200-10\sqrt{2}\text{x}}\cdot {\text{x}}^2\left({\text{m}}^3\right)$.

Đặt y = $\frac{1}{3}\sqrt{200-10\sqrt{2}\text{x}}\cdot {\text{x}}^2$, ta có $\text{y}\text{'}=\frac{-25\sqrt{2}{\text{x}}^2+400\text{x}}{3\sqrt{200-10\sqrt{2}\text{x}}}=0\iff [\begin{array}{l}\text{x}=0\left(\text{L}\right)\\ \text{x}=8\sqrt{2}\end{array}$.

Bảng biến thiên:

Vậy thể tích khối chóp lớn nhất khi x = 8$\sqrt{2}$ (m).

Diện tích tấm bạt bị cắt khi đó là:

S = 4S_AEB = $4\cdot \frac{1}{2}\cdot \text{E}\text{I}\cdot \text{A}\text{B}=2\cdot \frac{20-8\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}\cdot 20=80\left({\text{m}}^2\right).$