Cho hai số có tổng là \(S\) và tích là \(P\) với \({S^2} \ge 4P\). Khi đó hai số đó là nghiệm của phương trình nào dưới đây?

Đáp án đúng là: a) Đ b) S c) S d) Đ

a) Ta có bảng giá trị của \(y\) tương ứng với giá trị của \(x\) của hàm số \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\) như sau:

Đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\) đi qua 5 điểm có tọa độ \(\left( { - 4;8} \right)\); \(\left( { - 2;2} \right)\); \(\left( {0;0} \right)\); \(\left( {2;2} \right)\); \(\left( {4;8} \right)\).

Do đó, đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\) có dạng như sau:

b) Với \(m = 0\) thì ta có đường thẳng \(\left( d \right):y = x\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{1}{2}{x^2} = x\).

Suy ra \(\frac{1}{2}{x^2} - x = 0\) hay \({x^2} - 2x = 0\), do đó \(x\left( {x - 2} \right) = 0\)

Suy ra \(x = 0\) hoặc \(x = 2\).

Vậy với \(m = 0\) thì \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là \(0\) và \(2\).

c) Với \(m = \frac{1}{2}\) thì ta có đường thẳng \(\left( d \right):y = x - \frac{1}{2}\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{1}{2}{x^2} = x - \frac{1}{2}\)

Suy ra \({x^2} - 2x + 1 = 0\) hay \({\left( {x - 1} \right)^2} = 0\), do đó \(x = 1\).

Vậy với \(m = \frac{1}{2}\) thì \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) cắt nhau tại điểm có hoành độ \(x = 1\).

d) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\), ta có:

\(\frac{1}{2}{x^2} = x - m\) hay \({x^2} - 2x + 2m = 0\) (1).

Ta có biệt thức của phương trình (1) là: \(\Delta = 4 - 8m\).

Để \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Suy ra \(\Delta > 0\) hay \(4 - 8m > 0\), do đó \(m < \frac{1}{2}\).

Vậy với \(m < \frac{1}{2}\) thì \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.

Đáp án đúng là: C

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat C = 45^\circ \) là góc nội tiếp chắn cung \(AB\).

Mà \(\widehat {ACB} = 45^\circ \) nên \(\widehat {AOB} = 90^\circ \) (góc ở tâm chắn cung \(AB\)).

Suy ra \(\Delta AOB\) vuông cân tại \(O\).

Theo định lí Pythagore, ta có: \(O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}\) hay \(2O{A^2} = A{B^2}\),

Suy ra \(O{A^2} = \frac{{A{B^2}}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy bán kính đường tròn là \(R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy chọn đáp án C.