Trong không gian, cho hình hộp \(ABCD.EFGH\) như hình vẽ.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Lời giải

Đáp án: 0,86.

Gọi \(N\) là trung điểm của \(AA';\) kẻ \(AH \bot BA'\) tại \(H;AK \bot CI\) tại \(K.\) Khi đó  (đường trung bình tam giác \(ABA'\)), mà \(MN \subset (CMN)\) nên .

Do đó \({\rm{d}}(BA',CM) = {\rm{d}}(BA',(CMN)) = {\rm{d}}(H,(CMN)) = {\rm{d}}(A,(CMN)) = AK{\rm{ (v\`i  }}AK \bot (CMN){\rm{)}}{\rm{.}}\)

Chứng minh \(AK \bot (CMN)\)

Lăng trụ đứng nên \(AC \bot AA'\); \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AC \bot AB \Rightarrow AC \bot (ABA')\)

Mà \(MN \subset (ABA') \Rightarrow MN \bot AC\)

Mặt khác

\(AH \cap AC = A \Rightarrow MN \bot (CMN),AK \subset (CMN) \Rightarrow AK \bot MN\)

\(AK \bot CI,MN \cap CM = I \Rightarrow AK \bot (CMN).\)

Ta có \(A{K^2} = \frac{{A{I^2}.A{C^2}}}{{A{I^2} + A{C^2}}} = \frac{{\frac{{A{M^2}.A{N^2}}}{{A{M^2} + A{N^2}}}.A{C^2}}}{{\frac{{A{M^2}.A{N^2}}}{{A{M^2} + A{N^2}}} + A{C^2}}} = \frac{{\frac{{1.4}}{{1 + 4}}.9}}{{\frac{{1.4}}{{1 + 4}} + 9}} = \frac{{36}}{{49}} \Rightarrow AK = \frac{6}{7} \approx 0,86.\)

Lời giải

a) Đúng

Mỗi học sinh có 2 khả năng (ngửa hoặc sấp tương ứng với đứng hoặc ngồi).

Có tám học sinh tung độc lập nên tổng số kết quả có thể xảy ra là: \[{2^8} = 256\].

b) Đúng

Có tám học sinh nên số cách chọn một người đứng lên là: \[C_8^1 = 8\].

c) Sai

Số cách chọn hai bạn đứng lên bất kì là: \[C_8^2 = 28\].

Trong một bàn tròn tám ghế, có đúng tám cặp ghế kề nhau (1-2, 2-3, …, 8-1) nên có 8 cách chọn hai bạn đứng lên mà hai bạn đó ngồi cạnh nhau.

Vậy số cách để hai bạn đứng lên mà không đứng cạnh nhau là: \[28 - 8 = 20\].

d) Sai

Gọi \(A\) là biến cố: “không có hai người liền kề cùng đứng”.

Nếu có nhiều hơn bốn người đứng thì hiển nhiên biến cố \(A\) không xảy ra.

Do đó ta chỉ có các trường hợp sau:

TH1: Không có bạn nào đứng: có 1 cách.

TH2: Có một bạn đứng: có 8 cách.

TH3: Có hai bạn đứng mà không đứng cạnh nhau: có 20 cách (như trên câu c).

TH4: Có ba bạn đứng mà không có hai bạn nào đứng cạnh nhau.

·       Chọn ba bạn đứng lên bất kì có: \[C_8^3 = 56\] cách.

·       Chọn ba bạn đứng lên mà cả ba bạn liền kề nhau, có 8 cách (1-2-3, 2-3-4, …, 8-1-2)

·       Chọn ba bạn đứng lên mà chỉ có đúng hai bạn đứng cạnh nhau:

-  Có 8 cách chọn ra một bạn đứng.

-  Với mỗi cách chọn ra một bạn đứng, có 4 cách chọn ra hai bạn đứng cạnh nhau và không đứng cạnh bạn vừa chọn (ví dụ chọn bạn vị trí thứ nhất thì có 4 cách chọn hai bạn đứng cạnh nhau và không đứng cạnh bạn thứ nhất là: 3-4, 4-5, 5-6, 6-7).

Vậy có tất cả: \[56 - 8 - 8.4 = 16\] cách.

TH5: Có bốn bạn đứng lên và không có hai bạn nào đứng cạnh nhau: có 2 cách là các cặp 1-3-5-7 và 2-4-6-8.

Vậy số phần tử của biến cố A là: \[n\left( A \right) = 1 + 8 + 20 + 16 + 2 = 47\].

(Có thể áp dụng công thức, số cách chọn \(k\) bạn đứng lên trong bàn tròn \(n\) chỗ mà không có hai bạn nào đứng cạnh nhau là: \[\frac{n}{{n - k}}C_{n - k}^k\]).

Xác suất để có ít nhất hai bạn ngồi liền kề phải đứng lên là:

\[P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{{47}}{{256}} = \frac{{209}}{{256}}\].