Trong không gian tọa độ Oxyz, có ba trạm không gian đặt tại các điểm

                               \[A(33;27;36),\quad B(17; - 5;4),\quad C( - 43; - 35;64).\]

Người ta cần đặt một trạm phát tín hiệu lên không gian sao cho trạm phát tín hiệu đó cách đều ba trạm không gian. Biết rằng khoảng cách truyền tín hiệu càng xa thì độ chính xác của tín hiệu nhận được tại các trạm không gian càng nhỏ. Hỏi khi độ chính xác của tín hiệu lớn nhất có thể thì khoảng cách từ trạm phát tín hiệu đến các trạm không gian là bao nhiêu? (nhập đáp án vào ô trống)

Phương pháp giải

Tìm phương trình đường thẳng là tập hợp các điểm cách đều ba điểm.

Giải chi tiết

Khi đó:

                                                                 \[IA = IB = IC.\]

Hình chiếu vuông góc của \(I\) xuống mặt phẳng \((ABC)\) là \(K\).

Do đó:

           \[I{A^2} = I{K^2} + K{A^2},\quad I{B^2} = I{K^2} + K{B^2},\quad I{C^2} = I{K^2} + K{C^2}.\]

Suy ra:

                                                               \[KA = KB = KC,\]

nên \(K\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Tính các cạnh:

                                           \[AB = 48,\quad AC = 102,\quad BC = 90.\]

Ta có:

                          \[A{B^2} + B{C^2} = {48^2} + {90^2} = {102^2} = A{C^2},\]

suy ra tam giác ABC vuông tại \(B\).

Do đó, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của AC:

                                                     \[AK = \frac{{AC}}{2} = 51.\]

Vì \(IA \ge AK\) với mọi \(I\), dấu bằng xảy ra khi \(I \equiv K\).

Khi đó khoảng cách từ trạm phát tín hiệu đến các trạm là nhỏ nhất và bằng:

                                                                     \[IA = 51.\]