Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác vuông cân tại \(B\),\(SA = AB = 1\) và \(SA \bot (ABC)\).

Gọi \(K\) là điểm nằm trên đoạn thẳng SC sao cho góc giữa hai đường thẳng AB và KB bằng ${60}^o$.

Biết độ dài đoạn thẳng \(BK = a\sqrt b - c\), với a,b,c là các số nguyên tố.

Tính \[T = a + b + c.\]

(nhập đáp án vào ô trống)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.

Giải chi tiết:

Gán hệ trục tọa độ Oxyz sao cho:

                               \[A(0;0;0),\quad B(1;0;0),\quad C(1;1;0),\quad S(0;0;1).\]

Phương trình đường thẳng SC là:

            \[SC:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t,}\\{y = t,}\\{z = 1 - t,}\end{array}} \right.\quad 0 \le t \le 1.\]

Gọi:

                                                             \[K(t;t;1 - t) \in SC.\]

Khi đó:

\[\overrightarrow {AB} = (1;0;0),\qquad \overrightarrow {BK} = (t - 1;{\mkern 1mu} t;{\mkern 1mu} 1 - t).\]

Do góc giữa AB và KB bằng 60⁰ nên:

$\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BK}|}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot \left|\overrightarrow{BK}\right|}=\cos {60}^{°}=\frac{1}{2}.$

Suy ra:

          \[\frac{{|t - 1|}}{{\sqrt {{{(t - 1)}^2} + {t^2} + {{(1 - t)}^2}} }} = \frac{1}{2}.\]

Bình phương hai vế:

  \[\frac{{{{(t - 1)}^2}}}{{3{t^2} - 4t + 2}} = \frac{1}{4}\; \Leftrightarrow \;{t^2} - 4t + 2 = 0.\]

Giải ra:

                                        \[t = 2 - \sqrt 2 \quad ({\rm{do }}0 \le t \le 1).\]

Suy ra:

   \[\overrightarrow {BK} = (1 - \sqrt 2 ;{\mkern 1mu} 2 - \sqrt 2 ;{\mkern 1mu} \sqrt 2 - 1).\]

Do đó:

  \[BK = \sqrt {{{(1 - \sqrt 2 )}^2} + {{(2 - \sqrt 2 )}^2} + {{(\sqrt 2 - 1)}^2}} = 2\sqrt 2 - 2.\]

Suy ra:

                                         \[a = b = c = 2 \Rightarrow T = a + b + c = 6.\]