Một viên bi hình cầu có đường kính \(2{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\) được cắt bởi một mặt phẳng.

 

Biết diện tích mặt cắt là:           \[S = \frac{{3\pi }}{4}\;({\rm{c}}{{\rm{m}}^2}).\]

Tính thể tích của phần nhỏ hơn của viên bi.

Phương pháp giải:

Gắn hệ trục tọa độ, sử dụng công thức thể tích khối tròn xoay.

Giải chi tiết:

Bán kính mặt cắt:

                 \[r = \sqrt {\frac{S}{\pi }} = \sqrt {\frac{{3\pi /4}}{\pi }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{\mkern 1mu} ({\rm{cm}}).\]

Bán kính viên bi:

                                                                       \[R = 1.\]

Khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng cắt:

                      \[d = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}.\]

Xét hình tròn:

                                                           \[{x^2} + {y^2} \le 1.\]

Phần khối cần tính là phần bên trái đường thẳng:

                                                             \[x = - \frac{1}{2},\]

phía trên trục hoành, quay quanh trục Ox.

Phương trình nửa đường tròn:

                                                          \[y = \sqrt {1 - {x^2}} .\]

Thể tích khối tròn xoay:

                            \[V = \pi \int_{ - 1}^{ - 1/2} {(1 - {x^2})} {\mkern 1mu} dx.\]

Tính tích phân:

                 \[V = \pi \left( {x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)|_{ - 1}^{ - 1/2} = \frac{{5\pi }}{{24}}.\]