Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy,\] cho ba điểm \[A\left( {3; - 1} \right),{\rm{ }}B\left( {2;10} \right),{\rm{ }}C\left( { - 4;2} \right)\] Tính tích vô hướng \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \]

Hướng dẫn giải

Trả lời: 0

\(N \in \Delta \) để \(ON\) nhỏ nhất thì \(ON \bot \Delta \)

\(N \in \Delta  \Rightarrow N(1 + t;1 + 2t)\)

\(\overrightarrow {ON}  = (1 + t;1 + 2t)\)

Vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = (1;2)\)

Vì \(ON \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {ON}  \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {ON}  \cdot \overrightarrow {{u_\Delta }}  = 0 \Leftrightarrow 1(1 + t) + 2(1 + 2t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{ - 3}}{5} \Rightarrow N\left( {\frac{2}{5};\frac{{ - 1}}{5}} \right)\).

Suy ra \(a + 2b = 0\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 3

Chọn điểm \(K(0;4)\) thuộc \(BC\), gọi \(E\) là trung điểm đoạn \(AK\) nên \(E\left( { - \frac{1}{2};1} \right)\).

Gọi \(d\) là đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác \(ABC\), suy ra \(d\) qua \(E\) và có một vectơ pháp tuyến .

Phương trình tổng quát \(d:1\left( {x + \frac{1}{2}} \right) - 1(y - 1) = 0\) hay \(2x - 2y + 3 = 0\).

Suy ra \(a + b + c = 3\).