Cho \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 1 + 2t}\end{array}(t \in \mathbb{R})} \right.\). Điểm \(N\left( {a;b} \right) \in \Delta \) sao cho khoảng cách từ góc tọa độ \(O\) đến \(N\) nhỏ nhất. Tính \(a + 2b\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 3

Chọn điểm \(K(0;4)\) thuộc \(BC\), gọi \(E\) là trung điểm đoạn \(AK\) nên \(E\left( { - \frac{1}{2};1} \right)\).

Gọi \(d\) là đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác \(ABC\), suy ra \(d\) qua \(E\) và có một vectơ pháp tuyến .

Phương trình tổng quát \(d:1\left( {x + \frac{1}{2}} \right) - 1(y - 1) = 0\) hay \(2x - 2y + 3 = 0\).

Suy ra \(a + b + c = 3\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 17

Vì \(P \in Ox\) nên \(P\left( {x;0} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 8;2} \right)\), \(\overrightarrow {MP}  = \left( {x - 5; - 3} \right)\).

Để ba điểm \(M,N,P\) thẳng hàng thì \(\left\{ \begin{array}{l} - 8 = k\left( {x - 5} \right)\\2 = k.\left( { - 3} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 17\\k =  - \frac{2}{3}\end{array} \right.\).

Vậy \(P\left( {17;0} \right)\). Suy ra \(a + b = 17\).