Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\) và cạnh bên bằng \(\frac{{3a}}{2}\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \((ABC)\) bằng bao nhiêu độ?

Hướng dẫn giải

Trả lời: 60

Ta có \((ABC) \cap \left( {A'BC} \right) = BC\).

Gọi trung điểm của cạnh \(BC\) là \(M\).

Tam giác \(ABC\) đều nên ta có: \(AM \bot BC\) (1).

\(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đều nên \(AA' \bot (ABC) \Rightarrow AA' \bot BC\) (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra \(BC \bot \left( {AA'M} \right) \Rightarrow BC \bot A'M\).

Suy ra: góc \(\varphi \) giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \((ABC)\) là góc giữa hai đường thẳng \(AM\) và \(A'M\). Vì tam giác \(A'AM\) vuông tại \(A\) nên suy ra \(\varphi  = \widehat {A'MA}\).

Ta có: \(\tan \varphi  = \frac{{AA'}}{{AM}} = \frac{{\frac{{3a}}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \sqrt 3 \).

Suy ra \(\varphi  = 60^\circ \).