Xét các số thực dương a, b thỏa mãn \({\log _5}a = 5\) và \({\log _3}b = \frac{2}{3}\). Tính giá trị của biểu thức \(I = 2{\log _6}\left[ {{{\log }_5}\left( {5a} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{9}}}{b^3}\).

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[2a\],\[SA = a\] và vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] Trên \[BC\] lấy điểm \[I\] sao cho tam giác \[SDI\] vuông tại \[S\]. Biết góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SDI} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] là \[60^\circ \]. Tính độ dài \[SI\].

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(2\sqrt 2 \), \(AA' = 4\). Tính góc giữa mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Biết \(x\) và \(y\) là hai số thực thỏa mãn \({\log _4}x = {\log _9}x = {\log _6}\left( {x - 2y} \right)\). Tính giá trị của \(\frac{x}{y}\).

Một người gửi số tiền 300 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất kép 6% một năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi suất sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Hỏi sau 3 năm không rút tiền gốc và lãi, số tiền trong ngân hàng của người đó là bao nhiêu?