Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[2a\],\[SA = a\] và vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] Trên \[BC\] lấy điểm \[I\] sao cho tam giác \[SDI\] vuông tại \[S\]. Biết góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SDI} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] là \[60^\circ \]. Tính độ dài \[SI\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Từ \(A\) dựng \(AK \bot ID\left( {K \in ID} \right)\)
Mà \(ID \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\)\( \Rightarrow ID \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow ID \bot SK\)
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SDI} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] là góc \(\widehat {AKS} = 60^\circ \).
Tam giác \(SAK\) vuông tại \(A\), ta có: \({\mathop{\rm Sin}\nolimits} \widehat {ASK} = \frac{{SA}}{{SK}} \Rightarrow SK = \frac{{SA}}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} \widehat {ASK}}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)
Tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\), ta có: \(SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = a\sqrt 5 \)
Tam giác \(SID\) vuông tại \(S\), \(SK\) là đường cao, ta có:
\(\frac{1}{{S{K^2}}} = \frac{1}{{S{I^2}}} + \frac{1}{{S{D^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{I^2}}} = \frac{3}{{4{a^2}}} - \frac{1}{{5{a^2}}} \Rightarrow SI = \frac{{2a\sqrt {55} }}{{11}}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AA'B'B} \right) \Rightarrow BC \bot A'B\).
Mặt khác \(AB \bot BC\) và \(\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\)
Do đó \(\left( {\left( {A'BC} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {A'B,AB} \right) = \widehat {A'BA}\).
Xét \(\Delta A'AB\) vuông tại \(A,\)có \(\tan \widehat {A'BA} = \frac{{AA'}}{{AB}} = \frac{4}{{2\sqrt 2 }} = \frac{2}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat {A'BA} \approx 54,7^\circ \).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
a) Do \(ABCD\) là hình vuông nên\[AB \bot BC\]
\[SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BC\].
Vậy \[BC \bot (SAB)\].
b) Do ABCD là hình vuông nên\[AC \bot BD\]
\[SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BD\].
\( \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\)
Mà \(BD \subset \left( {SBD} \right)\) nên \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
c) \[\left. \begin{array}{l}(SBC) \cap (ABCD) = BC\\BC \bot AB\\BC \bot SB\left( {BC \bot (SAB)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow ((SBC),(ABCD)) = \]\(\left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA}\).
Xét tam giác \(SAB\) vuông tại A, có \(tan\widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{a} = \sqrt 2 \Rightarrow \widehat {SBA} \approx 54^\circ \).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập