Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[2a\],\[SA = a\] và vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] Trên \[BC\] lấy điểm \[I\] sao cho tam giác \[SDI\] vuông tại \[S\]. Biết góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SDI} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] là \[60^\circ \]. Tính độ dài \[SI\].

Hướng dẫn giải

Từ \(A\) dựng \(AK \bot ID\left( {K \in ID} \right)\)

Mà  \(ID \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\)\( \Rightarrow ID \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow ID \bot SK\)

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SDI} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] là góc \(\widehat {AKS} = 60^\circ \).

Tam giác \(SAK\) vuông tại \(A\), ta có: \({\mathop{\rm Sin}\nolimits} \widehat {ASK} = \frac{{SA}}{{SK}} \Rightarrow SK = \frac{{SA}}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} \widehat {ASK}}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)

Tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\), ta có: \(SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}}  = a\sqrt 5 \)

Tam giác \(SID\) vuông tại \(S\), \(SK\) là đường cao, ta có:

\(\frac{1}{{S{K^2}}} = \frac{1}{{S{I^2}}} + \frac{1}{{S{D^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{I^2}}} = \frac{3}{{4{a^2}}} - \frac{1}{{5{a^2}}} \Rightarrow SI = \frac{{2a\sqrt {55} }}{{11}}\).