Một căn phòng có \(100\) công tắc đèn (được đánh số từ \(1\) đến \(100\)) đang tắt và có \(100\) người đang xếp hàng để lần lượt đi vào phòng. Nguyên tắc khi vào phòng như sau: Khi người thứ \(k\) đi vào phòng, người đó ấn tất cả công tắc đèn có số thứ tự chia hết cho \(k\left( {1 \le k \le 100,k \in \mathbb{Z}} \right)\). Khi \(100\)người đã đi hết vào phòng, có bao nhiêu công tắc đèn đang bật sáng?

Giải chi tiết:

Xét số \(k\left( {1 \le k \le 100,k \in \mathbb{Z}} \right).\) Nếu 𝑘 có một số chẵn các ước nguyên dương thì công tắc thứ \(k\) sẽ luôn quay về trạng thái tắt. Do đó ta chỉ cần tìm những số có một số lẻ các ước nguyên dương.

Mọi số \(k\) đều có hai ước nguyên dương là \(1\) và chính nó, do đó ta cần những số có một số lẻ các ước nguyên dương khác \(1\) và \(k.\)  

Dễ thấy chỉ những số chính phương có tính chất như vậy. Do đó các công tắc thứ \({n^2}\left( {n \in \mathbb{Z}} \right)\) sẽ bật.

Mà \(1 \le {n^2} \le 100 \Rightarrow 1 \le n \le 10.\)Vậy có \(10\) công tắc đèn bật sáng.

Đáp án: \(10.\)

Đáp án cần điền là: \(10.\)