Trong không \[{\rm{Ox}}yz,\] cho mặt phẳng \((P):x + ay + bz + c = 0{\mkern 1mu} (c > 0)\)song song với hai đường thẳng

\({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\) và \({d_2}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}\). Khoảng cách từ \({d_1}\) đến \(\left( P \right)\) gấp hai lần khoảng cách từ \({d_2}\) đến \(\left( P \right).\) Giá trị \(a - b + c\) bằng

Giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {{u_1}} = (1;1;2),\overrightarrow {{u_2}} = (2;1;1) \Rightarrow [\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ] = ( - 1;3; - 1)\). Ta chọn được một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\)là \(\left( {1; - 3;1} \right).\)Vậy \(a = - 3,b = 1.\)

Lấy\(A\left( {1; - 2;1} \right) \in {d_1},\)\(B\left( {1;1; - 2} \right) \in {d_2}.\)Khi đó \(d({d_1},(P)) = d(A,(P)),\quad d({d_2},(P)) = d(B,(P))\)

Vậy \(\frac{{|8 + c|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 2 \cdot \frac{{| - 4 + c|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} < = > \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 0}&{(KTM)}\\{c = 16}&{(TM)}\end{array}} \right.\)

Do đó \(a - b + c = 12.\)

Đáp án: \(12.\)