Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho hai mặt phẳng \((\alpha ):x - my + z + 6m + 3 = 0\)và \((\beta ):mx + y - mz + 3m - 8 = 0\). Hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng \(\Delta \). Gọi \(\Delta '\) là hình chiếu của \(\Delta \) lên mặt phẳng \[{\rm{Ox}}y.\] Khi tham số \(m\) thay đổi thì đường thẳng \(\Delta '\)luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định có tâm \(I\left( {a;b;0} \right)\) thuộc mặt phẳng \[{\rm{Ox}}y.\] Giá trị biểu thức \[P{\rm{ }} = {\rm{ }}ab\] bằng bao nhiêu?

Giải chi tiết:

Ta có hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (1; - m;1),\overrightarrow {{n_\beta }} = (m;1; - m)\)

Vậy một vectơ chỉ phương của \(\Delta \)là \([\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} ] = ({m^2} - 1;2m;{m^2} + 1)\)

Từ điều kiện đề bài, ta thấy \(\Delta '\)và \(\Delta \)tạo thành một mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với mặt phẳng \[{\rm{Ox}}y\]và tiếp xúc với mặt cầu. Khi đó một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \([\overrightarrow {{n_P}} ;\vec k] = (2m;1 - {m^2};0)\)

Từ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - my + z + 6m + 3 = 0}\\{mx + y - mz + 3m - 8 = 0}\end{array}} \right.\), cho \(y = 0,\) ta nhận được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + z + 6m + 3 = 0}\\{mx - mz + 3m - 8 = 0}\end{array}} \right.\)

Giải hệ trên, ta có điểm \(\left( {\frac{{ - 3{m^2} - 3m + 4}}{m};0;\frac{{ - 3{m^2} - 4}}{m}} \right)\)

Suy ra \((P):2mx + (1 - {m^2})y + 6{m^2} + 6m - 8 = 0\)

Lại có \(d(I;(P)) = \frac{{|2ma + (1 - {m^2})b + 6{m^2} + 6m - 8|}}{{\sqrt {{{(2m)}^2} + {{(1 - {m^2})}^2}} }} = \frac{{|2ma + (1 - {m^2})b + 6{m^2} + 6m - 8|}}{{{m^2} + 1}} = R > 0\)

Trường hợp 1: \(\begin{array}{l}2ma + (1 - {m^2})b + 6{m^2} + 6m - 8 = R({m^2} + 1)\\(6 - b){m^2} + (2a + 6)m + (b - 8) = R{m^2} + R \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6 - b = b - 8 = R > 0}\\{2a + 6 = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 7}\\{a = - 3}\end{array}} \right.\end{array}\)

Trường hợp 2: \(\begin{array}{l}2ma + (1 - {m^2})b + 6{m^2} + 6m - 8 = - R({m^2} + 1)\\(6 - b){m^2} + (2a + 6)m + (b - 8) = - R{m^2} - R \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6 - b = b - 8 = - R < 0}\\{2a + 6 = 0}\end{array}} \right.\end{array}\).

Ta thấy hệ này vô nghiệm.

Vậy \(P = ab = \left( { - 3} \right).7 = - 21.\)

Đáp án: \( - 21.\)