Sân vận động Sport Hub – Singapore là sân vận động có mái vòm được chọn để tổ chức lễ bế mạch đại hội thể thao Đông Nam Á năm 2015. Nền sân phẳng là một hình elip (E) có độ dài trục lớn 150 mét và trục bé 90 mét. Một mặt phẳng vuông góc với trục lớn của (E) sẽ cắt elip tại hai điểm A, B và cắt phần dưới của mái vòm theo một cung tròn của đường tròn tâm I thỏa mãn góc \(\widehat {AIB} = {90^0}\)(Tham khảo hình bên dưới). Các kĩ sư cần tính toán để lắp điều hòa cho sân vận động, mỗi máy điều hòa có công suất 100000 BTU đáp ứng được không gian \(500\,{m^3}.\) Hỏi các kĩ sư cần dùng tối thiểu bao nhiêu máy điều hòa để đáp ứng đủ theo yêu cầu kĩ thuật cho sân vận động?

Đáp án: 7,8.

Số phần tử của không gian mẫu: \(n(\Omega ) = C_{150}^3 = 551300.\)

Gọi 3 số trên 3 quả bóng lấy ra là \({u_1},{u_2},{u_3}.\) Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} < {u_2} < {u_3}\\{u_1} + {u_2} + {u_3} \le 300\\{u_1} + {u_3} = 2{u_2}\end{array} \right. \Rightarrow 3{u_2} \le 300 \Rightarrow {u_2} \le 100\)

Vì 3 số là một cấp số cộng nên \({u_1},{u_3}\) đối xứng với nhau qua \({u_2}\) nên ta có

\({u_2} = 100 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le {u_1} < 100\\100 < {u_3} \le 150\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{ c\'o  }}50\) bộ số;

\({u_2} = 99 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le {u_1} \le 99\\99 < {u_3} \le 150\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{ c\'o  51}}\) bộ số;

…

\({u_2} = 76 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le {u_1} < 76\\76 < {u_3} \le 150\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{ c\'o  74}}\) bộ số;

\({u_2} = 75 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le {u_1} < 75\\75 < {u_3} \le 150\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{ c\'o  74}}\) bộ số;

…

\({u_2} = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_3} = 3\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{ c\'o  1}}\) bộ số.

Vậy tổng cộng có \(n(A) = 50 + ... + 74 + 74 + ... + 1 = \frac{{25}}{2}(50 + 74) + \frac{{74}}{2}(74 + 1) = 4325\)

Vậy \(1000p = 1000.\frac{{4325}}{{551300}} \approx 7,8.\)

Đáp án: 44,6.

Tiến hành trải phẳng các mặt của hình chóp ra mặt phẳng (2 lần)

Ta có

+ \[S{A_1},S{A_2}\] lần lượt là vị trí của \(SA\) ở lần trải phẳng thứ 1 và thứ 2

+) \[S{D_1},S{C_1},S{B_1}\] là vị trí của \[SD,SC,SB\] ở lần trải phẳng thứ 2.

Do \(\widehat {BSC} = 15^\circ \), nên \[\widehat {AS{A_2}} = 120^\circ \].

Khi đó, độ dài đường gấp khúc \(AMNPQRTUVS\) ngắn nhất khi 9 điểm \({A_2},M,N,P,Q,R,T,U,V\) thẳng hàng.

Ta có: \[VA_2^2 = S{V^2} + SA_2^2 - 2.SV.SA.\cos \left( {120^\circ } \right) = {3^2} + {40^2} - 2.3.40.\frac{{ - 1}}{2} = 1729\]

\[ \Rightarrow V{A_2} = \sqrt {1729} \]

Vậy khi đó độ dài ngắn nhất của dây đèn led là \[SV + V{A_2} = 3 + \sqrt {1729}  \approx 44,6\] mét.