Xét các số thực dương a, b thỏa mãn \({\log _5}a = 5\) và \({\log _3}b = \frac{2}{3}\). Tính giá trị của biểu thức \(I = 2{\log _6}\left[ {{{\log }_5}\left( {5a} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{9}}}{b^3}\).

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại A, \(SA \bot (ABC)\)và\(AB = a\) \(\,SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\). Gọi H là trung điểm cạnh BC.  

a) Chứng minh:  \(BC \bot (SAH)\),              

b) Tính góc giữa đường thẳng SH và mặt phẳng (ABC) .

Giải các phương trình

a) \({\log _{16}}\left( {3x - 5} \right) = \frac{1}{2}\).

b) \({\log _3}x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) = {\log _3}\left( {5x + 12} \right)\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên \[SA \bot (ABCD)\] và  \(SA = a\sqrt 2 \).

a) Chứng minh:\[BC \bot (SAB)\].

b) Chứng minh: \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).   

c) Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(a\sqrt 3 \) . Cạnh bên \(SB\) vuông góc với đáy và \(SB = 2a\), \(M\) là trung điểm của cạnh \(AC\), G là trọng tâm của tam giác \[ABC\] .

a) Chứng minh mặt phẳng \(\left( {SBM} \right)\) vuông góc mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

b) Tính góc giữa hai đường thẳng SA và BC.           

c) Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng \[\left( {SAC} \right).\]

Giải các bất phương trình

a) \({\log _5}\left( {{x^2} - 24x} \right) \ge 2\).

b) \(2{\log _3}\left( {x + 1} \right) \le 1 + {\log _3}\left( {x + 7} \right)\).