Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi \(h\left( t \right)\) là thể tích nước bơm được sau \(t\) giây. Cho \(h'\left( t \right) = 3a{t^2} + bt{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{/s}}} \right)\) và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là \(150\;{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\). Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là \(1100\;{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\). Hỏi thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là bao nhiêu. 

Đáp án đúng là: A

Ta có :\(h'\left( t \right) = 3a{t^2} + bt\)

\[ \Rightarrow h\left( t \right) = \int {\left( {3a{t^2} + bt} \right)} dt = a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2} + C\]\[ \Rightarrow h\left( t \right) = a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2} + C\].

Chọn \(t = 0 \Rightarrow h\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\)

\[ \Rightarrow h\left( t \right) = a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2}\].

Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là : \[h\left( 5 \right) = 150 \Leftrightarrow 125a + \frac{{25}}{2}b = 150\].

Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là :\[h\left( {10} \right) = 1100 \Leftrightarrow 1000a + 50b = 1100\].

Ta có hệ : $\left\{\begin{array}{l}125a+\frac{25}{2}b=150\\ 1000a+50b=1100\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\end{array}\right.$

\[ \Rightarrow h\left( t \right) = {t^3} + {t^2}\]

Thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là \[h\left( {20} \right) = {20^3} + {20^2} = 8400\;{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\].