Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi \(h\left( t \right)\) là thể tích nước bơm được sau \(t\) giây. Cho \(h'\left( t \right) = 3a{t^2} + bt{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{/s}}} \right)\) và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là \(150\;{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\). Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là \(1100\;{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\). Hỏi thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là bao nhiêu. 

Đáp án đúng là: B

Từ đồ thị suy ra \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3\).

\(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx = \int {\left( {3{x^2} - 3} \right)dx = {x^3} - 3x + C} } \).

Do \(\left( C \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(y = 4\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) âm nên \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x_0^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = - 1\).

Suy ra \(f\left( { - 1} \right) = 4 \Leftrightarrow C = 2\)\( \Rightarrow \left( C \right):y = {x^3} - 3x + 2\)

Xét phương trình \({x^3} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\end{array} \right.\).

Diện tích hình phẳng cần tìm là: \(\int_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} - 3x + 2} \right|dx} = \frac{{27}}{4}\).

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Công thức tính diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) là \({S_H} = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 3} \right)dx} \).

b) \({S_H} = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 3} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + 3x} \right)} \right|_0^2 = \frac{{26}}{3}\).

c) Công thức tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) xung quanh trục \(Ox\) là \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}dx} \).

d) \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}dx} = \frac{{202\pi }}{5}\).