Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)đi qua điểm \(H\left( {2;1;1} \right)\) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại \(A\), \(B\), \(C\) (khác gốc toạ độ \(O\)) sao cho \(M\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)có phương trình là:     

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Giả sử đường bay của máy bay số 1 là \(\left( {{\Delta _1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 20 + 2t\\y = 20 + t\\z = - 10 - t\end{array} \right.\) có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1; - 1} \right)\) và đường bay của máy bay số 2 thỏa mãn \(\left( {30 + t';20 + t', - 10 - t'} \right) \in {\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 30 + t'\\y = 20 + t'\\z = - 10 - t'\end{array} \right.\) có \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;1; - 1} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + 1.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

b) Kể từ thời điểm xuất phát, để hai máy bay gần nhau nhất thì hai máy bay phải gần tọa độ giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}20 + 2t = 30 + t'\\20 + t = 20 + t'\\ - 10 - t = - 10 - t'\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t - t' = 10\\t - t' = 0\\ - t + t' = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow t = t' = 10\).

Vậy sau 10 giờ thì hai máy bay gần nhau nhất.

c) Nếu máy bay số một vẫn ở phi trường thì thời điểm lúc đó là 0 giờ \( \Rightarrow t = 0\) thay vào phương trình đường thẳng \({\Delta _1}\) ta được $\left\{\begin{array}{l}x=20+2.0\\ y=20+0\\ z=-10-0\end{array}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=20\\ y=20\\ z=-10\end{array}\right.$

Suy ra vị trí tọa độ của máy bay là \(\left( {20;20; - 10} \right)\).

d) Vị trí tọa độ máy bay số 2 sau 5 giờ là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 30 + 5\\y = 20 + 5\\z = - 10 - 5\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 35\\y = 25\\z = - 15\end{array} \right.\).

a) S, b) S, c) S, d) S

a) Ta có \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { - 1;2;3} \right),\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Có \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 1.1 + 2.2 + 3.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {14} .\sqrt 6 }} = 0\).

Do đó số đo góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\left( P \right)\) bằng \(0^\circ \).

b) \(\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow {OH} = \left( {3; - 1;2} \right)\).

Ta có \(\sin \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {OH} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right)} \right| = \frac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).2 + 2.3} \right|}}{{\sqrt {9 + 1 + 4} .\sqrt {1 + 4 + 9} }} = \frac{1}{{14}}\).

c) Ta có \(\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {2; - 1;0} \right)\).

\(\sin \beta = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow j } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.0 + \left( { - 1} \right).1 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {4 + 1} .\sqrt 1 }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)\( \Rightarrow \beta \approx 26,5^\circ < 30^\circ \).

d) Đường thẳng \({d_2}\) vuông góc với \(\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Có \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;m;0} \right)\).

\(\sin \left( {{d_2},\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + 2.m + \left( { - 1} \right).0} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{1^2} + {m^2}} }} = \frac{{\left| {1 + 2m} \right|}}{{\sqrt {6\left( {1 + {m^2}} \right)} }} = \sin 30^\circ \)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 + 2m} \right|}}{{\sqrt {6\left( {1 + {m^2}} \right)} }} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow 2{\left( {1 + 2m} \right)^2} = 3\left( {1 + {m^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow 2\left( {1 + 4m + 4{m^2}} \right) = 3\left( {1 + {m^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 5{m^2} + 8m - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow m = \frac{{ - 4 \pm \sqrt {21} }}{5}\).

Suy ra tổng các giá trị của \(m\) là \( - \frac{8}{5}\).