Cho \[\Delta ABC\] cân tại \[A.\] Trên tia đối của ti \[BC\] lấy điểm \[D\], trên tia đối của tia \[CB\] lấy điểm \[E\] sao cho \[BD = CE\]. Kẻ \[BH \bot AD\] tại \[H,\] \[CK \bot AE\] tại \[K\]. Gọi \[M\] là giao điểm của \[AI,\,\,\,DE;\] \[I\] là giao của \[BH\] và \[CK\].

Khi đó:

a) Đúng.

Vì \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] và \[M\] là trung điểm của \[BC\] nên \[AM\] vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, đường trung trực trong \[\Delta ABC\].

Vậy \[AM\] là trung trực của \[BC\].

b) Đúng.

Ta chứng minh được \[\Delta EMB = \Delta FMC\] (cạnh huyền – góc nhọn) nên \[ME = MF\] (hai cạnh tương ứng)

c) Đúng.

Ta chứng minh được \[\Delta EAM = \Delta FAM\] (cạnh huyền – góc nhọn) nên \[AE = AF\] (hai cạnh tương ứng)

Vì \[ME = MF\] và \[AE = AF\] nên \[M,\,\,A\] cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng \[EF\].

Do đó, \[AM\] là trung trực của \[EF\].

d) Đúng.

Vì \[AM\] là trung trực của \[EF\] nên \[AM \bot EF\].

Lại có \[AM\] là trung trực của \[BC\] nên \[AM \bot BC\].

Từ đây suy ra \[EF\parallel BC\].

a) Đúng.

Xét hai tam giác vuông \[\Delta AOM\] và \[\Delta BOM\] có:

\[OM\] chung (gt)

\[\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\] (gt)

Do đó, \[\Delta AOM = \Delta BOM\] (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra \[AO = OB\] (hai cạnh tương ứng)

Do đó, \[O\] cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng \[AB\].

Vậy \[O\] thuộc đường trung trực của \[AB\].

b) Đúng.

Vì \[\Delta AOM = \Delta BOM\] (cmt) nên \[MA = MB\] (hai cạnh tương ứng)

Suy ra \[M\] cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng \[AB\].

Do đó, \[M\] thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\].

Từ phần a) kết hợp suy ra \[OM\] là đường trung trực của \[AB\].

c) Đúng.

Ta chứng minh được \[\Delta BOD = \Delta AOC\] (cạnh góc vuông – góc nhọn)

Suy ra \[OC = OD\] (hai cạnh tương ứng) (1)

Chứng minh \[\Delta DOM = \Delta COM\] (c.g.c)

Suy ra \[MD = MC\] (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[OM\] là đường trung trực của \[CD\].

d) Sai.

Từ phần b) có \[OM\] là đường trung trực của \[AB\] nên \[OM \bot AB\].

Từ phần c) có \[OM\] là đường trung trực của \[CD\] nên \[OM \bot CD\]

Do đó, \[AB\parallel CD\].