Cho góc \[xOy\] khác góc bẹt \[Oz\] là tia phân giác của \[xOy\]. Gọi \[M\] là một điểm bất kì thuộc tia \[Oz\]. Qua \[M\] vẽ đường thẳng \[a\] vuông góc với \[Ox\] tại \[A\], cắt \[Oy\] tại \[C\] và vẽ đường thẳng \[b\] vuông góc với \[Oy\] tại \[B\], cắt \[Ox\] tại \[D\].

Khi đó:

a) Sai.

Xét \[\Delta ABD\] và \[\Delta AEC\] có:

\[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\] (\[\Delta ABC\] cân tại \[A\]) suy ra \[\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\]

\[BD = CE\] (gt)

\[AB = AC\] (gt)

Suy ra \[\Delta ABD = \Delta ACE\] (c.g.c)

b) Đúng.

Vì \[\Delta ABD = \Delta ACE\] (cmt) nên \[AD = AE\].

Suy ra \[\Delta ADE\] cân tại \[A\].

Do đó, \[\widehat D = \widehat E\].

Xét hai tam giác vuông \[\Delta BHD\] và \[\Delta CKE\] có:

\[\widehat D = \widehat E\] (cmt)

\[BD = CE\] (gt)

Suy ra \[\Delta BHD = \Delta CKE\] (cạnh huyền – góc nhọn)

c) Sai.

Ta có: \[\Delta BHD = \Delta CKE\] nên \[HD = KE\] (hai cạnh tương ứng)

Lại có: \[AD - HD = AE - KE\] hay \[AH = AK\].

Do đó, ta chỉ ra được \[\Delta AHI = \Delta AKI\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \[\widehat {HAI} = \widehat {KAI}\] (hai góc tương ứng)

Xét \[\Delta ADM\] và \[\Delta EAM\] có:

\[\widehat {DAM} = \widehat {MAE}\] (cmt);

\[AD = AE\]

\[\widehat {ADM} = \widehat {MEA}\]

Do đó, \[\Delta ADM = \Delta AEM\] (g.c.g)

d) Đúng.

Vì \[\Delta ADM = \Delta AEM\] (cmt) nên \[DM = ME\] và \[\widehat {AMD} = \widehat {EMD}\].

Do đó, \[M\] là trung điểm của \[DE\] và \[\widehat {AMD} = 180^\circ :2 = 90^\circ \] (do \[\widehat {AMD},\,\,\widehat {EMD}\] là hai góc kề bù).

Suy ra \[AI \bot DE\] tại trung điểm \[M\] của \[DE\].

Vậy \[AI\] là trung trực của \[DE.\]

a) Đúng.

Vì \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] nên \[AD\] vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, đường trung trực trong \[\Delta ABC\].

Do đó, \[AD\] là đường trung trực của \[BC\].

b) Sai.

Xét \[\Delta MAD\] và \[\Delta DAN\] có:

\[\widehat {MAD} = \widehat {NAD}\]

\[AD\] chung

Do đó \[\Delta MAD = \Delta NAD\] (cạnh huyền – góc nhọn)

c) Đúng.

Từ \[\Delta MAD = \Delta NAD\] (cmt) suy ra \[MD = ND\] và \[AM = AN\] (hai cạnh tương ứng)

Do đó, \[AD\] là đường trung trực của \[MN\].

d) Đúng.

Ta chứng minh được \[\Delta NKE = \Delta CKD\] (c.g.c) nên \[\widehat {NEK} = \widehat {KDC}\] (hai góc tương ứng)

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên \[NE\parallel DC\]. (1)

Có \[AM = AN\] nên \[\Delta MAN\] cân tại \[A\], suy ra \[\widehat {AMN} = \widehat {ABC} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\]

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \[MN\parallel CB\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[NE\parallel DC\parallel MN\] nên ba điểm \[M,\,\,N,\,\,E\] thẳng hàng.