Cho \[\Delta ABC\] cân tại \[A\]. Vẽ \[AD\] là phân giác \[\widehat {BAC}\,\,\left( {D \in BC} \right)\]. Vẽ \[DM \bot AB\] tại \[M\], \[DN \bot AC\] tại \[N\]. Gọi \[K\] là trung điểm của \[CN\]. Trên tia đối của tia \[KD\] lấy điểm \[E\] sao cho \[KE = KD\]. Khi đó:

a) Đúng.

Vì \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] và \[M\] là trung điểm của \[BC\] nên \[AM\] vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, đường trung trực trong \[\Delta ABC\].

Vậy \[AM\] là trung trực của \[BC\].

b) Đúng.

Ta chứng minh được \[\Delta EMB = \Delta FMC\] (cạnh huyền – góc nhọn) nên \[ME = MF\] (hai cạnh tương ứng)

c) Đúng.

Ta chứng minh được \[\Delta EAM = \Delta FAM\] (cạnh huyền – góc nhọn) nên \[AE = AF\] (hai cạnh tương ứng)

Vì \[ME = MF\] và \[AE = AF\] nên \[M,\,\,A\] cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng \[EF\].

Do đó, \[AM\] là trung trực của \[EF\].

d) Đúng.

Vì \[AM\] là trung trực của \[EF\] nên \[AM \bot EF\].

Lại có \[AM\] là trung trực của \[BC\] nên \[AM \bot BC\].

Từ đây suy ra \[EF\parallel BC\].

a) Sai.

Xét \[\Delta ABD\] và \[\Delta AEC\] có:

\[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\] (\[\Delta ABC\] cân tại \[A\]) suy ra \[\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\]

\[BD = CE\] (gt)

\[AB = AC\] (gt)

Suy ra \[\Delta ABD = \Delta ACE\] (c.g.c)

b) Đúng.

Vì \[\Delta ABD = \Delta ACE\] (cmt) nên \[AD = AE\].

Suy ra \[\Delta ADE\] cân tại \[A\].

Do đó, \[\widehat D = \widehat E\].

Xét hai tam giác vuông \[\Delta BHD\] và \[\Delta CKE\] có:

\[\widehat D = \widehat E\] (cmt)

\[BD = CE\] (gt)

Suy ra \[\Delta BHD = \Delta CKE\] (cạnh huyền – góc nhọn)

c) Sai.

Ta có: \[\Delta BHD = \Delta CKE\] nên \[HD = KE\] (hai cạnh tương ứng)

Lại có: \[AD - HD = AE - KE\] hay \[AH = AK\].

Do đó, ta chỉ ra được \[\Delta AHI = \Delta AKI\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \[\widehat {HAI} = \widehat {KAI}\] (hai góc tương ứng)

Xét \[\Delta ADM\] và \[\Delta EAM\] có:

\[\widehat {DAM} = \widehat {MAE}\] (cmt);

\[AD = AE\]

\[\widehat {ADM} = \widehat {MEA}\]

Do đó, \[\Delta ADM = \Delta AEM\] (g.c.g)

d) Đúng.

Vì \[\Delta ADM = \Delta AEM\] (cmt) nên \[DM = ME\] và \[\widehat {AMD} = \widehat {EMD}\].

Do đó, \[M\] là trung điểm của \[DE\] và \[\widehat {AMD} = 180^\circ :2 = 90^\circ \] (do \[\widehat {AMD},\,\,\widehat {EMD}\] là hai góc kề bù).

Suy ra \[AI \bot DE\] tại trung điểm \[M\] của \[DE\].

Vậy \[AI\] là trung trực của \[DE.\]