Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,SA \bot \left( {ABCD} \right)\), biết \(SC = a\sqrt 3 \). Gọi \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(SB,SD,CD,BC\).

Thể tích của khối chóp \(A.MNPQ\) bằng.

Đáp án C

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MN//PQ}\\{MN = PQ}\end{array}} \right.\). Suy ra \(MNPQ\) là hình bình hành; mặt khác, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot SA}\\{BD \bot AC}\end{array} \Rightarrow BD \bot SC} \right.\); mà̀ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{PQ//BD}\\{PN//SC}\end{array} \Rightarrow PN \bot PQ} \right.\) nên tứ giác \(MNPQ\) là hình chữ nhật.                                    

\(SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}} = a\)

Do \(SM \cap \left( {APQ} \right) = B\) nên ta có:

\(\frac{{{\rm{d}}\left( {M;\left( {AQP} \right)} \right)}}{{{\rm{d}}\left( {S;\left( {AQP} \right)} \right)}} = \frac{{MB}}{{SB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {\rm{\;d}}\left( {M;\left( {AQP} \right)} \right) = \frac{1}{2}{\rm{d}}\left( {S;\left( {AQP} \right)} \right) = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}\).

\({S_{\Delta AQP}} = \frac{1}{2}AH.QP = \frac{1}{2}.\frac{3}{4}AC.\frac{1}{2}BD = \frac{3}{{16}}AC.BD = \frac{3}{{16}}{(a\sqrt 2 )^2} = \frac{3}{8}{a^2}\). Với \[H = AC \cap PQ\].

Ta có \({V_{A.MNPQ}} = 2{V_{A.MQP}} = 2{V_{M.AQP}}\), mà \({V_{M.AQP}} = \frac{1}{3}{\rm{d}}\left( {M;\left( {AQP} \right)} \right).{S_{\Delta AQP}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{3}{8}{a^2} = \frac{{{a^3}}}{{16}}\).

Vậy \({V_{A.MNPQ}} = 2{V_{M.AQP}} = 2.\frac{{{a^3}}}{{16}} = \frac{{{a^3}}}{8}\).