Cho đường tròn \(\left( {O;\,\,R} \right)\). Từ \(A\) trên \(\left( O \right),\) kẻ tiếp tuyến \(d\) với \(\left( O \right).\) Trên đường thẳng \(d\) lấy điểm \(M\) bất kỳ \(\left( M \right.\) khác \(\left. A \right),\) kẻ cát tuyến \(MNP.\) Gọi \(K\) là trung điểm của \(NP,\) kẻ tiếp tuyến \(MB\). Kẻ \[AC \bot MB,\,\,BD \bot AM\,\,\left( {C \in MB,\,\,D \in AM} \right).\] Gọi\[H\] là giao điểm của \[AC\] và \[BD,\] \[I\] là giao điểm của \[OM\] và \[AB.\]

a) Chứng minh tứ giác \(AMBO\) nội tiếp.

b) Chứng minh \(OI \cdot OM = {R^2}\) và \(OI \cdot IM = I{A^2}\).

c) Chứng minh ba điểm \(O,\,\,H,\,\,M\) thẳng hàng.

Đổi \(3\,\,{\rm{cm}} = 0,3{\rm{ dm}}{\rm{.}}\)

Thể tích hình trụ là: \({V_1} = \pi {r^2}h = \pi {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} \cdot 0,8 = \frac{\pi }{5}\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).

Thể tích hình cầu là: \({V_2} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi \cdot {\left( {0,3} \right)^3} = \frac{{9\pi }}{{250}}\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).

Thể tích nước cần đổ vào bình là:

\(V = {V_1} - {V_2} = \pi {r^2}h - \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{\pi }{5} - \frac{{9\pi }}{{250}} = \frac{{41\pi }}{{250}} \approx 0,5\) (lít).

Hướng dẫn giải

Đáp án:     a) Đúng.    b) Đúng.    c) Sai.        d) Sai.

⦁ Thể tích hình nón có bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(h\), được tính bằng công thức: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h.\)

Do đó ý a) là sai.

⦁ Chiều cao của phần rượu có trong ly là \[7 - 3 = 4\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\]. Do đó ý b) là đúng.

⦁ Thể tích của cái ly thủy tinh là \[V = \frac{1}{3}\pi \cdot {4^2} \cdot 7 = \frac{{112}}{3}\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right){\rm{.}}\] Do đó ý c) là sai.

⦁ Tỉ số giữa thể tích của phần còn lại trong ly rượu so với thể tích ly là: \[1 - {\left( {\frac{4}{7}} \right)^3} = \frac{{279}}{{343}}\].

Do đó ý d) là sai.