Gieo một con xúc xắc 45 lần cho kết quả như sau:

Số chấm xuất hiện	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
Tần số	\(5\)	\(?\)	\(8\)	\(7\)	\(6\)	\(10\)

Tần số xuất hiện của mặt \(2\) chấm là

Hướng dẫn giải

Đáp số: 215.

Gọi số sản phẩm phân xưởng cần sản xuất mỗi ngày theo kế hoạch là \[x\] (sản phẩm) \[\left( {x \in \mathbb{N};\,\,x > 0} \right)\].

Thời gian sản xuất theo kế hoạch là \[\frac{{1505}}{x}\] (ngày)

Thực tế mỗi ngày phân xưởng sản được số sản phẩm là: \[x + 86\] (sản phẩm)

Thời gian sản xuất thực tế là \[\frac{{1505}}{{x + 86}}\] (ngày)

Vì phân xưởng đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định là 2 ngày nên ta có phương trình: \[\frac{{1505}}{x} - \frac{{1505}}{{x + 86}} = 2\]

\[\frac{{1505\left( {x + 86} \right)}}{{x\left( {x + 86} \right)}} - \frac{{1505x}}{{x\left( {x + 86} \right)}} = \frac{{2x\left( {x + 86} \right)}}{{x\left( {x + 86} \right)}}\]

\[1505\left( {x + 86} \right) - 1505x = 2x\left( {x + 86} \right)\]

\[2{x^2} + 172x - 129\,\,430 = 0\]

\[{x^2} + 86x - 64\,\,715 = 0\]

\[x = 215\] (TMĐK) và \[x = - 301\] (loại).

Vậy số sản phẩm phân xưởng cần sản xuất mỗi ngày theo kế hoạch là \[215\] sản phẩm.

Hướng dẫn giải

Suy ra \(\widehat {OHM} = 90^\circ \) nên \(H\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\).

Vậy \(M,\,\,D,\,\,O,\,\,H\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(OM\).

b) Vì \(MC,\,\,MD\) là tiếp tuyến của \(\left( {O\,;\,\,R} \right)\)\(\left( {C,\,\,\,D} \right.\) là hai tiếp điểm) nên \(MO\) là tia phân giác của \(\widehat {CMD}\) và \(OM\) là tia phân giác của \(\widehat {COD}.\)

Mặt khác, \(\widehat {MCI} = \widehat {CDI}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn ).

và \(\widehat {CDI} = \widehat {DCI}\) (tam giác \(CDI\) cân tại \[I\,)\].

Suy ra \[\widehat {MCI} = \widehat {DCI}\] nên \[CI\] là tia phân giác của \(\widehat {MCD}\).

Ta có \(I\) là giao điểm hai đường phân giác trong của tam giác \(MCD\) nên \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(MCD.\)

c) Ta có \({S_{MPQ}} = 2{S_{MPO}} = MP \cdot OC = \left( {MC + CP} \right) \cdot R\).

Mà \(MC + CP \ge 2\sqrt {MC.CP} = 2\sqrt {O{C^2}} = 2R\) nên \({S_{MPQ}} \ge 2{R^2}\).

Dấu xảy ra khi \(MC = CP = R\) hay \(OM = R\sqrt 2 \).

Vậy để diện tích tam giác \(MPQ\) nhỏ nhất thì \(M\) là giao điểm của \(\left( {O\,;\,\,R\sqrt 2 } \right)\) và đường thẳng \(d.\)