Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{x - 1}}{{{x^2} - 2x}} + \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 2x}} - \frac{4}{{{x^3} - 4x}}} \right):\left( {1 - \frac{2}{x}} \right).\)

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức \[P\].

b) Rút gọn biểu thức \[P\].

c) Tính giá trị của biểu thức \[P\] biết \[x\] là số thực thỏa mãn điều kiện \[\left| {2x - 1} \right| = 5\].

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức \[P\] là:

\[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ne 0\\{x^2} + 2x \ne 0\\{x^3} - 4x \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x\left( {x + 2} \right) \ne 0\\x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2 \ne 0}\\{x + 2 \ne 0}\\{x \ne 0\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\] hay \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 2\;\;}\\{x \ne - 2}\\{x \ne 0\;\;}\end{array}} \right.\].

b) Với \[x \ne 2\,;\,\,x \ne - 2\,;\,\,x \ne 0\], ta có:

\(P = \left( {\frac{{x - 1}}{{{x^2} - 2x}} + \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 2x}} - \frac{4}{{{x^3} - 4x}}} \right):\left( {1 - \frac{2}{x}} \right)\)

\( = \left[ {\frac{{x - 1}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x + 1}}{{x\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]:\frac{{x - 2}}{x}\)

\( = \left[ {\frac{{x - 1}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x + 1}}{{x\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right] \cdot \frac{x}{{x - 2}}\)

\( = \frac{{x - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + \frac{{x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2} - x + 2x - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{{x^2} + x - 2x - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x - 2 + {x^2} - x - 2 - 4}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{2{x^2} - 8}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{2\left( {{x^2} - 4} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{2\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} = \frac{2}{{x - 2}}\).