\({x^2} + x + 1 = {x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0\) với mọi \(x.\)

Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \({x^2} - 4 \ne 0,\) \(x - 1 \ne 0\) hay \(x - 2 \ne 0,\) \(x + 2 \ne 0\) và \(x - 1 \ne 0\), tức là \[x \ne 2,\,\,x \ne - 2\] và \(x \ne 1.\)

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \[x \ne 2,\,\,x \ne - 2\] và \(x \ne 1.\)

b) Với \[x \ne 2,\,\,x \ne - 2\] và \(x \ne 1,\) ta có:

\[A = \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 4}} \cdot \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} \right)\]

\( = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - 4}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1 - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)\( = \frac{{{x^2} + x + 1 - {x^2} + 1}}{{{x^2} - 4}}\)

\[ = \frac{{x + 2}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{x + 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{1}{{x - 2}}.\]

Vậy với \[x \ne 2,\,\,x \ne - 2\] và \(x \ne 1,\) thì \(A = \frac{1}{{x - 2}}.\)

c) Ta có \(\left| {x + 3} \right| = 1\) suy ra \(x + 3 = 1\) hoặc \(x + 3 = - 1\)

Do đó \(x = - 2\) (không thỏa mãn điều kiện) hoặc \(x = - 4\) (thỏa mãn điều kiện)

Thay \(x = - 4\) vào biểu thức \(A = \frac{1}{{x - 2}},\) ta được: \(A = \frac{1}{{ - 4 - 2}} = - \frac{1}{6}.\)

Vậy \(A = - \frac{1}{6}\) khi \(\left| {x + 3} \right| = 1.\)

Câu 2

Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{5x + 2}}{{x - 10}} + \frac{{5x - 2}}{{x + 10}}} \right) \cdot \frac{{x - 10}}{{{x^2} + 4}}.\)

a) Tìm điều kiện xác định của \[P.\]

b) Rút gọn biểu thức \[P.\]

c) Tính giá trị của \[P\] khi \[x = \frac{2}{5}.\]

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Với mọi \(x\) ta có \({x^2} \ge 0\) nên \({x^2} + 4 \ge 4 > 0.\)

Do đó biểu thức \(P\) xác định khi và chỉ khi \(x - 10 \ne 0\) và \(x + 10 \ne 0\) hay \(x \ne 10\) và \(x \ne - 10.\)

b) Với \(x \ne 10\) và \(x \ne - 10,\) ta có:

\(P = \left( {\frac{{5x + 2}}{{x - 10}} + \frac{{5x - 2}}{{x + 10}}} \right) \cdot \frac{{x - 10}}{{{x^2} + 4}}\)

\( = \frac{{\left( {5x + 2} \right)\left( {x + 10} \right) + \left( {5x - 2} \right)\left( {x - 10} \right)}}{{\left( {x - 10} \right)\left( {x + 10} \right)}} \cdot \frac{{x - 10}}{{{x^2} + 4}}\)

\( = \frac{{5{x^2} + 50x + 2x + 20 + 5{x^2} - 50x - 2x + 20}}{{\left( {x + 10} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}\)

\( = \frac{{10{x^2} + 40}}{{\left( {x + 10} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}\) \( = \frac{{10\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{\left( {x + 10} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}} = \frac{{10}}{{x + 10}}.\)

Vậy với \(x \ne 10\) và \(x \ne - 10\) thì \(P = \frac{{10}}{{x + 10}}.\)

c) Thay \[x = \frac{2}{5}\] (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(P = \frac{{10}}{{x + 10}},\) ta được:

\(P = \frac{{10}}{{\frac{2}{5} + 10}} = \frac{{10}}{{\frac{{52}}{5}}} = \frac{{25}}{{26}}.\)

Vậy \(P = \frac{{25}}{{26}}\) khi \[x = \frac{2}{5}.\]

Câu 3

Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{x - 1}}{{{x^2} - 2x}} + \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 2x}} - \frac{4}{{{x^3} - 4x}}} \right):\left( {1 - \frac{2}{x}} \right).\)

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức \[P\].

b) Rút gọn biểu thức \[P\].

c) Tính giá trị của biểu thức \[P\] biết \[x\] là số thực thỏa mãn điều kiện \[\left| {2x - 1} \right| = 5\].

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức \[P\] là:

\[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ne 0\\{x^2} + 2x \ne 0\\{x^3} - 4x \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x\left( {x + 2} \right) \ne 0\\x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2 \ne 0}\\{x + 2 \ne 0}\\{x \ne 0\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\] hay \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 2\;\;}\\{x \ne - 2}\\{x \ne 0\;\;}\end{array}} \right.\].

b) Với \[x \ne 2\,;\,\,x \ne - 2\,;\,\,x \ne 0\], ta có:

\(P = \left( {\frac{{x - 1}}{{{x^2} - 2x}} + \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 2x}} - \frac{4}{{{x^3} - 4x}}} \right):\left( {1 - \frac{2}{x}} \right)\)

\( = \left[ {\frac{{x - 1}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x + 1}}{{x\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]:\frac{{x - 2}}{x}\)

\( = \left[ {\frac{{x - 1}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x + 1}}{{x\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right] \cdot \frac{x}{{x - 2}}\)

\( = \frac{{x - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + \frac{{x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2} - x + 2x - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{{x^2} + x - 2x - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x - 2 + {x^2} - x - 2 - 4}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{2{x^2} - 8}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{2\left( {{x^2} - 4} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{2\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} = \frac{2}{{x - 2}}\).

Câu 4

Giải các phương trình sau:

a) \[4x--5 = 2x + 1\];                                                    b) \[6x + 7 = 3x--2\];

c) \[7x - 10 = 4x + 11\];                                               d) \[5\left( {x - 3} \right) + 5 = 4x + 1\];

e) \[8x - 5 = 3\left( {x - 6} \right) + 7\];                      g) \[7x - \left( {12 + 5x} \right) = 6\].

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) \[4x--5 = 2x + 1\]

\[4x--2x = 5 + 1\]

\[2x = 6\]

\[x = 3\]

Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 3\].

b) \[6x + 7 = 3x--2\]

\[6x--3x = --2--7\]

\[3x = --9\]

\[x = --3\]

Vậy nghiệm của phương trình là \[x = --3\].

c) \[7x - 10 = 4x + 11\]

\[x - 4x = 10 + 11\]

\[3x = 21\]

\[x = 7\]

Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 7\].

d) \[5\left( {x - 3} \right) + 5 = 4x + 1\]

\[5x - 15 + 5 = 4x + 1\]

\[5x - 4x = 1 + 15 - 5\]

\[x = 11\]

Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 11\].

e) \[8x - 5 = 3\left( {x - 6} \right) + 7\]

\[8x - 5 = 3x - 18 + 7\]

\[8x - 3x = 5 - 18{\rm{ }} + 7\]

\[5x = - 6\]

\(x = \frac{{ - 6}}{5}.\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{ - 6}}{5}.\)

g) \[7x - \left( {12 + 5x} \right) = 6\]

\[7x - 12 - 5x = 6\]

\[7x - 5x = 6 + 12\]

\[2x = 18\]

\[x = 9\]

Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 9\].

Câu 5

Giải các phương trình sau:

a) \(\frac{{x - 2}}{6} - \frac{x}{2} = \frac{{5 - 2x}}{3}\); b) \(\frac{{2x - 1}}{3} + \frac{{x + 4}}{2} = \frac{{5x + 20}}{6}\);

c) \[x{\left( {x + 3} \right)^2} - 3x = {\left( {x + 2} \right)^3} + 1\]; d) \[{x^3} - 1 + \left( {1 - x} \right)\left( {x - 5} \right) = 0\].

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) \(\frac{{x - 2}}{6} - \frac{x}{2} = \frac{{5 - 2x}}{3}\)

\(\frac{{x - 2}}{6} - \frac{{3x}}{6} = \frac{{2\left( {5 - 2x} \right)}}{6}\)

\(x - 2 - 3x = 2\left( {5 - 2x} \right)\)

\( - 2x - 2 = 10 - 4x\)

\(2x = 12\).

\(x = 6\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 6.\)

b) \(\frac{{2x - 1}}{3} + \frac{{x + 4}}{2} = \frac{{5x + 20}}{6}\)

\[\frac{{2\left( {2x - 1} \right)}}{6} + \frac{{3\left( {x + 4} \right)}}{6} = \frac{{5x + 20}}{6}\]

\[\frac{{4x - 2}}{6} + \frac{{3x + 12}}{6} = \frac{{5x + 20}}{6}\]

\[\frac{{7x + 10}}{6} = \frac{{5x + 20}}{6}\]

\[7x + 10 = 5x + 20\]

\[7x - 5x = 20 - 10\]

\[2x = 10\]

\[x = 5\]

Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 5.\]

c) \[x{\left( {x + 3} \right)^2} - 3x = {\left( {x + 2} \right)^3} + 1\]

\[x\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) - 3x = {x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 + 1\]

\[{x^3} + 6{x^2} + 9 - 3x = {x^3} + 6{x^2} + 12x + 9\]

\[15x = 0\]

\[x = 0\]

Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 0\].

d) \[{x^3} - 1 + \left( {1 - x} \right)\left( {x - 5} \right) = 0\]

\[{x^3} - 1 + x - {x^2} - 5 + 5x = 0\]

\[{x^3} - {x^2} + 6x - 6 = 0\]

\[{x^2}\left( {x - 1} \right) + 6\left( {x - 1} \right) = 0\]

\[\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 6} \right) = 0\]

\[x - 1 = 0\] (vì \[{x^2} + 6 > 0\])

\[x = 1\]

Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 1\]

Câu 6

Một ô tô đi từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Quy Nhơn với vận tốc trung bình là \[80{\rm{ km/}}\,{\rm{h}}.\] Khi từ Quy Nhơn về Thành phố Hồ Chí Minh, xe tăng vận tốc thêm \[90{\rm{ km/}}\,{\rm{h}}\] nên thời gian về ít hơn thời gian đi 54 phút. Tính quãng đường từ Thành phố Hồ Chí Minh đi Quy Nhơn.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tiếng Anh

Công nghệ

Tin học

ĐHQG Hà Nội

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa Hà Nội

ĐHSP Hà Nội

Bộ Công an

Bộ Quốc phòng

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý