Trung tâm ngoại ngữ A tháng 8 năm 2023 tổng cộng có 60 học viên tham gia học. Trong đó có 25 học viên học tiếng Trung; 25 học viên học tiếng Nhật; 7 học viên học tiếng Hàn; 3 học viên học cả tiếng Trung và tiếng Hàn. Chọn ngẫu nhiên một học viên từ trung tâm đó. Tính xác suất của các biến cố sau:

a) “Học viên học tiếng Trung”.

b) “Học viên học cả tiếng Trung và tiếng Hàn”.

Một bể có gắn ba vòi nước: hai vòi chảy vào và một vòi tháo ra (vòi tháo ra đặt ở đáy bể). Biết rằng, nếu chảy một mình, vòi thứ nhất chảy \[8\] giờ đầy bể, vòi thứ hai chảy \[6\] giờ đầy bể và vòi thứ ba tháo \[4\] giờ thì cạn bể đầy. Bể đang cạn, người ta mở đồng thời vòi thứ nhất và vòi thứ hai trong \[2\] giờ rồi mở tiếp vòi thứ ba. Sau bao lâu kể từ lúc mở vòi thứ ba thì đầy bể?

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], đường cao \[AH\]. Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AH,{\rm{ }}BH.\] Chứng minh:

a) \[H{A^2} = HB \cdot HC\];                                         b) .

Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn \[\left( {AB < AC} \right)\] có ba đường cao \[AE,{\rm{ }}BD,{\rm{ }}CF\] cắt nhau tại \[H.\]

a) Chứng minh

b) Chứng minh

c) Chứng minh: \[BH \cdot BD + CH \cdot CF = B{C^2}\] và \(\frac{{HE}}{{AE}} + \frac{{HD}}{{BD}} + \frac{{HF}}{{CF}} = 1.\)

Phương án 2: Xây đường ống từ điểm \[A\] đến điểm \[M\] trên bờ biển, rồi xây đường ống từ điểm \[M\] đến điểm \[C\] trên hòn đảo.

Phương án 3: Xây đường ống từ điểm \[A\] đến điểm \[B\] trên bờ biển, rồi xây đường ống từ điểm \[B\] đến điểm \[C\] trên hòn đảo. Biết: \[BC = 60\,\,{\rm{km}},{\rm{ }}AB = 100\,\,{\rm{km}},{\rm{ }}AM = 55\,\,{\rm{km}}\,{\rm{.}}\]

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], đường cao \[AH\,\,\left( {H \in BC} \right)\]. Biết \[AB = 18{\rm{ cm,}}\] \[AC = 24{\rm{ cm}}{\rm{.}}\]

a) Chứng minh: \[A{B^2} = BH \cdot BC\].

b) Kẻ đường phân giác \[CD\] của tam giác \[ABC\]\[\left( {D \in AB} \right)\]. Tính độ dài \[DA\].

c) Từ \[B\] kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng \[CD\] tại \[E\] và cắt đường thẳng \[AH\] tại \[F.\] Trên đoạn thẳng \[CD\] lấy điểm \[G\] sao cho \[BA = BG\].

Chứng minh: \[BG \bot FG\].

Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn, các đường cao \[BD\] và \[CE\] cắt nhau tại điểm \[H.\]

a) Chứng minh rằng:

b) Cho \[AB = 4\,\,{\rm{cm}};{\rm{ }}AC = 5\,\,{\rm{cm}};{\rm{ }}AD = 2\,\,{\rm{cm}}.\] Tính độ dài đoạn thẳng \[AE\];

c) Chứng minh rằng: \(\widehat {EDH} = \widehat {BCH}.\)