Một ca nô chạy trên sông trong 8 giờ, xuôi dòng 81 km và ngược dòng 105 km. Một lần khác cũng chạy trên khúc sông đó, ca nô này chạy trong 4 giờ, xuôi dòng 54 km và ngược dòng 42 km. Biết vận tốc dòng nước và vận tốc riêng của ca nô không đổi. Gọi vận tốc xuôi dòng của ca nô là \[x,\] vận tốc ngược dòng của ca nô là \[y\,\,\left( {x,\,\,y > 0} \right)\], khi đó:

a) Sai.

Quãng đường ô tô đi được trong 2 giờ là \[2x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\]

Quãng đưỡng xe máy đi được trong 2 giờ là \[2y\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\].

Do đó, tổng quãng đường hai xe đi trong 2 giờ là \[2x + 2y = 200\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\] hay \[x + y = 100\].

b) Đúng.

Vì vận tốc ô tô tăng thêm \[10\,\,{\rm{km/h}}\], vận tốc xe máy giảm đi \[5\,\,{\rm{km/h}}\] thì vận tốc của ô tô bằng

2 lần vận tốc của xe máy nên ta có phương trình \[x + 10 = 2\left( {y - 5} \right)\] hay \[x - 2y = - 20\].

c) Sai.

Hệ phương trình biểu diễn bài toán là \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 100\\x - 2y = - 20\end{array} \right.\].

Giải hệ phương trình, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 100\\3y = 120\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 60\\y = 40\end{array} \right.\] (thỏa mãn)

Vậy vận tốc của ô tô là 60 km/h, vận tốc của xe máy là 40 km/h.

d) Đúng.

Quãng đường ô tô đi được so với quãng đường xe máy đi được trong 2 giờ là: \[\frac{{2 \cdot 60}}{{2 \cdot 40}} = \frac{3}{2} = 1,5\] (lần)

Đáp án: 0

Xét phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - my = 1\,\,\,\,\left( 1 \right)\\mx + y = 3\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (1), ta có: \(x = my + 1.\,\,\,\left( 3 \right)\)

Thế phương trình (3) vào phương trình (2), ta được:

\(m\left( {my + 1} \right) + y = 3\)

\({m^2}y + m + y = 3\)

\(\left( {{m^2} + 1} \right)y = 3 - m\)

\(y = \frac{{3 - m}}{{{m^2} + 1}}\) (do \({m^2} + 1 \ne 0)\)

Thay \(y = \frac{{3 - m}}{{{m^2} + 1}}\) vào phương trình (3), ta được:

\(x = m \cdot \frac{{3 - m}}{{{m^2} + 1}} + 1 = \frac{{3m - {m^2} + {m^2} + 1}}{{{m^2} + 1}} = \frac{{3m + 1}}{{{m^2} + 1}}.\)

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right) = \left( {\frac{{3m + 1}}{{{m^2} + 1}};\,\,\frac{{3 - m}}{{{m^2} + 1}}} \right)\).

Ta có: \(P = x_0^2 + y_0^2 - {x_0} - 3{y_0} = {\left( {\frac{{3m + 1}}{{{m^2} + 1}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{3 - m}}{{{m^2} + 1}}} \right)^2} - \frac{{3m + 1}}{{{m^2} + 1}} - 3 \cdot \frac{{3 - m}}{{{m^2} + 1}}\)

\[ = \frac{{{{\left( {3m + 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - m} \right)}^2} - \left( {3m + 1} \right)\left( {{m^2} + 1} \right) - 3\left( {3 - m} \right)\left( {{m^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}}}\]

\[ = \frac{{9{m^2} + 6m + 1 + 9 - 6m + {m^2} - \left( {3{m^3} + 3m + {m^2} + 1} \right) - \left( {9{m^2} + 9 - 3{m^3} - 3m} \right)}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}}}\]

\[ = \frac{{9{m^2} + 6m + 1 + 9 - 6m + {m^2} - 3{m^3} - 3m - {m^2} - 1 - 9{m^2} - 9 + 3{m^3} + 3m}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}}}\]

\[ = \frac{0}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}}} = 0.\]