Cho hệ phương trình {x−my=1; mx+y=3 với m là tham số và (x0;y0) là nghiệm của hệ phương trình. Tính giá trị của biểu thức P=x0^2+y0^2−x0−3y0.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: 0
Xét phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - my = 1\,\,\,\,\left( 1 \right)\\mx + y = 3\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (1), ta có: \(x = my + 1.\,\,\,\left( 3 \right)\)
Thế phương trình (3) vào phương trình (2), ta được:
\(m\left( {my + 1} \right) + y = 3\)
\({m^2}y + m + y = 3\)
\(\left( {{m^2} + 1} \right)y = 3 - m\)
\(y = \frac{{3 - m}}{{{m^2} + 1}}\) (do \({m^2} + 1 \ne 0)\)
Thay \(y = \frac{{3 - m}}{{{m^2} + 1}}\) vào phương trình (3), ta được:
\(x = m \cdot \frac{{3 - m}}{{{m^2} + 1}} + 1 = \frac{{3m - {m^2} + {m^2} + 1}}{{{m^2} + 1}} = \frac{{3m + 1}}{{{m^2} + 1}}.\)
Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right) = \left( {\frac{{3m + 1}}{{{m^2} + 1}};\,\,\frac{{3 - m}}{{{m^2} + 1}}} \right)\).
Ta có: \(P = x_0^2 + y_0^2 - {x_0} - 3{y_0} = {\left( {\frac{{3m + 1}}{{{m^2} + 1}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{3 - m}}{{{m^2} + 1}}} \right)^2} - \frac{{3m + 1}}{{{m^2} + 1}} - 3 \cdot \frac{{3 - m}}{{{m^2} + 1}}\)
\[ = \frac{{{{\left( {3m + 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - m} \right)}^2} - \left( {3m + 1} \right)\left( {{m^2} + 1} \right) - 3\left( {3 - m} \right)\left( {{m^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}}}\]
\[ = \frac{{9{m^2} + 6m + 1 + 9 - 6m + {m^2} - \left( {3{m^3} + 3m + {m^2} + 1} \right) - \left( {9{m^2} + 9 - 3{m^3} - 3m} \right)}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}}}\]
\[ = \frac{{9{m^2} + 6m + 1 + 9 - 6m + {m^2} - 3{m^3} - 3m - {m^2} - 1 - 9{m^2} - 9 + 3{m^3} + 3m}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}}}\]
\[ = \frac{0}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}}} = 0.\]
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập