Có hai con tàu \(A,B\) xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình rađa của trạm điều khiển (xem như mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) với đơn vị trên các trục tính bằng kilômét), tại thời điểm \(t\) (giờ), vị trí của tàu \(A\) có tọa độ được xác định bởi công thức \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 33t\\y = - 4 + 25t\end{array} \right.\); vị trí tàu \(B\) có tọa độ là \(\left( {4 - 30t;3 - 40t} \right)\). Nếu tàu \(A\) đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu \(B\) chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu km?

Hướng dẫn giải

a) Phương trình của đường tròn là \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 49\).

b) Ta có \(\overrightarrow {AI} = \left( {3; - 4} \right)\), bán kính của đường tròn là \(R = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 5\).

Phương trình của đường tròn là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).

c) Toạ độ trung điểm \(I\) của \(AB\) là \(I\left( { - 2;1} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AI} = \left( { - 1;4} \right)\).

Bán kính của đường tròn là \(R = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {17} \).

Phương trình của đường tròn là \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 17\).

d) Có tâm \(I\left( {1;3} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(x + 2y + 3 = 0\).

Khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(x + 2y + 3 = 0\) bằng bán kính \(R = \frac{{|1 + 2.3 + 3|}}{{\sqrt 5 }} = 2\sqrt 5 \).

Phương trình đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 20\).

Hướng dẫn giải

Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng: .

Theo giả thiết, ta có:

\[{\rm{cos}}{45^0} = \frac{{\left| {A + 3B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} .\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left| {A + 3B} \right| = \sqrt 5 \sqrt {{A^2} + {B^2}} \]\( \Leftrightarrow 2{A^2} - 3AB - 2{B^2} = 0\).

Nếu \(B = 0\) thì \(A = 0\) (loại)

Nếu \(B \ne 0\) thì

\(2{A^2} - 3AB - 2{B^2} = 0\)\( \Leftrightarrow 2{\left( {\frac{A}{B}} \right)^2} - 3\frac{A}{B} - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{A}{B} = 2 \Rightarrow A = 2;B = 1\\\frac{A}{B} = - \frac{1}{2} \Rightarrow A = 1;B = - 2\end{array} \right.\).

Vậy có hai đường thẳng  thỏa yêu cầu bài toán là \[2(x + 2) + y = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 4 = 0\] và \[1(x + 2) - 2y = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2 = 0\].