Câu hỏi:

27/03/2026 19

Cho \(\frac{a}{c} = \frac{{a - b}}{{b - c}}\) \(\left( {a,\,\,c \ne 0\,;\,\,a \ne b\,;\,\,b \ne c} \right)\). Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{{a - b}} = \frac{1}{{b - c}} - \frac{1}{c}\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cách 1: Theo đề bài: \(\frac{a}{c} = \frac{{a - b}}{{b - c}} = \frac{{2a - b}}{b}\) (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

Đẳng thức \(\frac{1}{a} + \frac{1}{{a - b}} = \frac{1}{{b - c}} - \frac{1}{c}\)

\(\frac{{2a - b}}{{a\left( {a - b} \right)}} = \frac{{2c - b}}{{\left( {b - c} \right)c}}\)

\(\frac{{2a - b}}{b} = \frac{a}{c} \cdot \frac{{a - b}}{{b - c}} \cdot \frac{{2c - b}}{b}\)

\(1 = \frac{a}{c} \cdot \frac{{2c - b}}{b}\)

\(bc + ab = 2ac\)

\(ab - ac = ac - bc\)

\(\left( {b - c} \right)a = c\left( {a - b} \right)\)

\(\frac{a}{c} = \frac{{a - b}}{{b - c}}\) (luôn đúng).

Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

• \(\frac{a}{c} = \frac{{a - b}}{{b - c}} = \frac{{a + a - b}}{{c + b - c}} = \frac{{2a - b}}{b}\);

• \(\frac{a}{c} = \frac{{a - b}}{{b - c}} = \frac{{a - a + b}}{{c - b + c}} = \frac{b}{{2c - b}}\) nên \(\frac{c}{a} = \frac{{2c - b}}{b}\).

Đẳng thức \(\frac{1}{a} + \frac{1}{{a - b}} = \frac{1}{{b - c}} - \frac{1}{c}\)

\(\frac{{2a - b}}{{a\left( {a - b} \right)}} = \frac{{2c - b}}{{\left( {b - c} \right)c}}\)

\(\frac{{2a - b}}{b} = \frac{a}{c} \cdot \frac{{a - b}}{{b - c}} \cdot \frac{{2c - b}}{b}\)

\(\frac{a}{c} = \frac{a}{c} \cdot \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{a}\)

\(\frac{a}{c} = \frac{a}{c}\) (luôn đúng).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm nghiệm của các đa thức sau:

(a) \(A\left( x \right) = 2x - 1\).

(b) \(B\left( x \right) = 3 - \frac{5}{6}x\).

(c) \(C\left( x \right) = {x^2} - 1\).

(d) \(D\left( x \right) = 8{x^3} + 27\).

Xem đáp án

Lời giải

a) Để \(x\) là nghiệm của đa thức \(A\left( x \right)\) thì \(2x - 1 = 0\) hay \(x = \frac{1}{2}\).

Vậy \(x = \frac{1}{2}\) là nghiệm của đa thức \(A\left( x \right)\).

b) Để \(x\) là nghiệm của đa thức \(B\left( x \right)\) thì \(3 - \frac{5}{6}x = 0\) nên \(\frac{5}{6}x = 3\) hay \(x = \frac{{18}}{5}\).

Vậy \(x = \frac{{18}}{5}\) là nghiệm của đa thức \(B\left( x \right)\).

c) Để \(x\) là nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\) thì \({x^2} - 1 = 0\) nên \({x^2} = 1\) hay \(x = \pm 1\).

Vậy \(x = \pm 1\) là nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\).

d) Để \(x\) là nghiệm của đa thức \(D\left( x \right)\) thì \(8{x^3} + 27 = 0\) nên \({x^3} = \frac{{ - 27}}{8}\) nên \(x = - \frac{3}{2}\).

Vậy \(x = - \frac{3}{2}\) là nghiệm của đa thức \(D\left( x \right)\).

Câu 2

Cho tam giác \[ABC\] có \[AB < AC\]. Hai đường cao \[AD\] và \[BE\] cắt nhau tại \[H\] và \[AD = BE\]\[\left( {D \in BC,\,\,E \in AC} \right)\]. Chứng minh rằng:

(a) Tam giác \[ABC\] cân tại \[C\].

(b) Đường thẳng \[CH\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\].

(c) \[DE\] song song với \[AB\].

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC có AB<AC. Hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H và AD=BE(D∈BC,E∈AC). Chứng minh rằng: (a) Tam giác ABC cân tại C. (b) Đường thẳng CH là đường trung trực của đoạn thẳng AB. (c) DE song song với AB. (ảnh 1)

a) Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta BED\) có

\[AD = BE\] (gt)

\(\widehat {AED} = \widehat {BDE} = 90^\circ \)

Cạnh \[AB\] chung

Do đó \(\Delta ADE = \Delta BED\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \[\widehat {EAB} = \widehat {ABD}\] (hai góc tương ứng)

Vậy tam giác \[ABC\] cân tại \[C\].

b) Vì tam giác \[ABC\] cân tại \[C\] nên \[CA = CB\].

Suy ra \[C\] thuộc đường trung trực của \[AB\].

Vì \(\Delta ADE = \Delta BED\) (cmt) nên \[\widehat {EBA} = \widehat {DAB}\] (hai góc tương ứng).

Suy ra tam giác \[HAB\] cân tại \[H\]nên \[HA = HB\].

Do đó \[H\] thuộc đường trung trực của \[AB\].

Vậy đường thẳng \[CH\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\].

c) Tam giác \[ABC\] cân tại \[C\] nên \[\widehat {CAB} = \frac{{180^\circ - \widehat {ACB}}}{2}\].

Ta có \[AE = BD\] (vì \(\Delta ADE = \Delta BED\)).

Suy ra \[CA - AE = CB - BD\] nên \[CE = CD\].

Do đó tam giác \[CED\] cân tại \[C\] nên \[\widehat {CED} = \frac{{180^\circ - \widehat {ACB}}}{2}\].

Suy ra \[\widehat {CAB} = \widehat {CED}\]

Mà \[\widehat {CAB}\] và \[\widehat {CED}\] ở vị trí đồng vị nên \[ED\,{\rm{//}}\,BA.\]

Câu 3